Завдання № 22.24. § 22. Паралельне перенесення (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Кожне з трьох рівних між собою кіл радіуса $r$ дотикається до двох інших. Знайдіть площу трикутника, утвореного спільними дотичними до цих кіл.

Покроковий розв’язок:

1. Геометричний аналіз фігури

Нехай три рівні кола з центрами $O_1$, $O_2$, $O_3$ та радіусами $r$ попарно дотикаються одне до одного. Три спільні зовнішні дотичні до цих кіл перетинаються у вершинах $A$, $B$ та $C$, утворюючи трикутник $△ABC$.

Через симетрію розташування кіл відносно сторін, трикутник $△ABC$ є рівностороннім (правильним), тобто:
$\angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ }$

2. Знаходження сторони трикутника

Розглянемо сторону $BC$:

1) Нехай коло з центром $O_2$ дотикається до прямої $BC$ у точці $K$, а коло з центром $O_3$ — у точці $M$.

2) Радіуси, проведені в точки дотику, перпендикулярні до дотичної:
$O_{2}K\perp BC,O_{3}M\perp BC,\text{причому }{O}_{2}K=O_{3}M=r$

3) Оскільки $O_{2}K\perp BC$ та $O_{3}M\perp BC$, чотирикутник $O_{2}KM{O}_3$ є прямокутником. Звідси:
$KM=O_2{O}_3=r+r=2r$

4) Центр кола $O_2$ лежить на бісектрисі кута $B$, оскільки коло вписане в кут $\angle B$. Отже:
$\angle O_{2}BK=\frac{\angle B}{2}=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }$

5) З прямокутного трикутника $△B{O}_{2}K$ ($\angle BK{O}_2=90^{\circ }$) знайдемо довжину катета $BK$:
$BK=\frac{O_{2}K}{\mathrm{tg}30^{\circ }}=O_{2}K\cdot \mathrm{ctg}30^{\circ }=r\cdot \sqrt{3}$

6) За симетрією відрізок біля вершини $C$ дорівнює:
$CM=BK=r\sqrt{3}$

7) Довжина сторони $BC$ дорівнює сумі трьох відрізків:
$BC=BK+KM+MC=r\sqrt{3}+2r+r\sqrt{3}=2r+2r\sqrt{3}=2r(1+\sqrt{3})$

3. Обчислення площі трикутника

Площа правильного трикутника зі стороною $a$ обчислюється за формулою:
$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Підставимо значення сторони $BC=2r(1+\sqrt{3})$:

Відповідь:
$2r^2(3+2\sqrt{3})$ (або $2r^2(2\sqrt{3}+3)$)