Завдання № 22.21. § 22. Паралельне перенесення (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що $△ABC\sim △A_1{B}_1{C}_1$, якщо:

1) $\angle A=50^{\circ }$, $\angle B=\angle B_1=100^{\circ }$, $\angle C_1=30^{\circ }$;

2) $\angle C=\angle C_1=20^{\circ }$, $AC=2\text{ см}$, $BC=5\text{ см}$, $A_1{C}_1=4\text{ см}$, $B_1{C}_1=10\text{ см}$;

3) $AB=3\text{ см}$, $BC=4\text{ см}$, $AC=6\text{ см}$, $A_1{B}_1=9\text{ см}$, $B_1{C}_1=12\text{ см}$, $A_1{C}_1=18\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Доведення за двома кутами (перша ознака подібності трикутників)

Знайдемо невідомий кут $C$ у трикутнику $△ABC$. За теоремою про суму кутів трикутника:
$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$
Звідси:
$\angle C=180^{\circ }-(\angle A+\angle B)=180^{\circ }-(50^{\circ }+100^{\circ })=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$

Порівняємо відповідні кути трикутників $△ABC$ та $△A_1{B}_1{C}_1$:

• $\angle B=\angle B_1=100^{\circ }$ (за умовою);
• $\angle C=\angle C_1=30^{\circ }$ (оскільки знайдений $\angle C=30^{\circ }$ та заданий $\angle C_1=30^{\circ }$).

Оскільки два кути трикутника $△ABC$ відповідно дорівнюють двом кутам трикутника $△A_1{B}_1{C}_1$, то за першою ознакою подібності (за двома кутами):
$△ABC\sim △A_1{B}_1{C}_1$

2. Доведення за двома сторонами та кутом між ними (друга ознака подібності трикутників)

Знайдемо відношення відповідних сторін, що містять кути $C$ та $C_1$:
$\frac{AC}{A_1{C}_1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
$\frac{BC}{B_1{C}_1}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

Отже, відповідні сторони пропорційні:
$\frac{AC}{A_1{C}_1}=\frac{BC}{B_1{C}_1}=\frac{1}{2}$

Кут між сторонами $AC$ і $BC$ — це $\angle C$, а кут між сторонами $A_1{C}_1$ і $B_1{C}_1$ — це $\angle C_1$. За умовою:
$\angle C=\angle C_1=20^{\circ }$

Оскільки дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника, а кути між цими сторонами рівні, то за другою ознакою подібності:
$△ABC\sim △A_1{B}_1{C}_1$

3. Доведення за трьома сторонами (третя ознака подібності трикутників)

Знайдемо відношення відповідних сторін трикутників:
$\frac{AB}{A_1{B}_1}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
$\frac{BC}{B_1{C}_1}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$
$\frac{AC}{A_1{C}_1}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$

Оскільки всі три пари відповідних сторін мають однакове відношення:
$\frac{AB}{A_1{B}_1}=\frac{BC}{B_1{C}_1}=\frac{AC}{A_1{C}_1}=\frac{1}{3}$

то за третьою ознакою подібності (за трьома сторонами):
$△ABC\sim △A_1{B}_1{C}_1$

Відповідь:

1) Доведено (за двома кутами);

2) Доведено (за двома пропорційними сторонами і кутом між ними);

3) Доведено (за трьома пропорційними сторонами).