Завдання № 22.20. § 22. Паралельне перенесення (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть площу трапеції з основами $20\text{ см}$ і $12\text{ см}$, якщо центр кола, описаного навколо цієї трапеції, лежить на більшій основі.

Покроковий розв’язок:

1. Властивості вписаної трапеції
Нехай дано трапецію $ABCD$ з основами $AD=20\text{ см}$ і $BC=12\text{ см}$ ($BC\parallel AD$).

Оскільки чотирикутник $ABCD$ вписаний у коло, сума його протилежних кутів дорівнює $180^{\circ }$:
$\angle A+\angle C=180^{\circ }$

Водночас за властивістю кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони (як внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих $BC$ і $AD$ та січній $AB$):
$\angle A+\angle B=180^{\circ }$

Порівнюючи ці рівності, маємо $\angle B=\angle C$, а отже, трапеція $ABCD$ є рівнобічною ($AB=CD$).

2. Визначення виду трикутника $△ABD$
Центр описаного кола $O$ лежить на більшій основі $AD$. Це означає, що відрізок $AD$ є діаметром цього кола.

Кут $\angle ABD$ є вписаним кутом, який спирається на діаметр $AD$, тому за властивістю вписаного кута:
$\angle ABD=90^{\circ }$
Отже, трикутник $△ABD$ — прямокутний із гіпотенузою $AD$.

3. Знаходження висоти трапеції
Проведемо висоту $BK\perp AD$.

Оскільки трапеція $ABCD$ рівнобічна, проекція бічної сторони на більшу основу дорівнює піврізниці основ:
$AK=\frac{AD-BC}{2}=\frac{20-12}{2}=4\text{ см}$

Тоді відрізок $KD$ дорівнює:
$KD=AD-AK=20-4=16\text{ см}$

У прямокутному трикутнику $△ABD$ відрізок $BK$ є висотою, проведеною з вершини прямого кута до гіпотенузи. За метричним співвідношенням у прямокутному трикутнику квадрат висоти дорівнює добутку проекцій катетів на гіпотенузу:
$BK=\sqrt{AK\cdot KD}=\sqrt{4\cdot 16}=\sqrt{64}=8\text{ см}$

4. Обчислення площі трапеції
Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту:
$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BK=\frac{20+12}{2}\cdot 8=16\cdot 8=128{\text{ см}}^2$

Відповідь:
$128{\text{ см}}^2$.