Завдання № 22.18. § 22. Паралельне перенесення (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Один з кутів прямокутного трикутника дорівнює $45^{\circ }$, а інший прямокутний трикутник є рівнобедреним. Чи подібні ці трикутники?

Покроковий розв’язок:

1. Визначення кутів першого прямокутного трикутника
Нехай дано прямокутний трикутник $△ABC$, у якому прямий кут $\angle C=90^{\circ }$, а один із гострих кутів $\angle A=45^{\circ }$.
За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника, їхня сума дорівнює $90^{\circ }$:
$\angle B=90^{\circ }-\angle A=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$
Отже, кути першого трикутника становлять $90^{\circ }$, $45^{\circ }$ та $45^{\circ }$.

2. Визначення кутів другого прямокутного трикутника
Нехай дано другий прямокутний трикутник $△A_1{B}_1{C}_1$, у якому прямий кут $\angle C_1=90^{\circ }$. За умовою, цей трикутник є рівнобедреним.
Оскільки гіпотенуза прямокутного трикутника завжди є його найбільшою стороною, рівними можуть бути лише катети: $A_1{C}_1=B_1{C}_1$.
Кути, що лежать проти рівних сторін (катетів), є рівними:
$\angle A_1=\angle B_1$
Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^{\circ }$, маємо:
$\angle A_1=\angle B_1=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$
Отже, кути другого трикутника також становлять $90^{\circ }$, $45^{\circ }$ та $45^{\circ }$.

3. Висновок про подібність трикутників
Порівняємо кути трикутників $△ABC$ і $△A_1{B}_1{C}_1$:
$\angle C=\angle C_1=90^{\circ },\angle A=\angle A_1=45^{\circ }$
За першою ознакою подібності трикутників (якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники подібні):
$△ABC\sim △A_1{B}_1{C}_1$

Відповідь:
Так, подібні.