Завдання № 22.14. § 22. Паралельне перенесення (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Запишіть рівняння прямої, у яку переходить пряма $x+2y-4=0$ при паралельному перенесенні, заданому формулами: $x^{\prime }=x+1$, $y^{\prime }=y-2$.

Покроковий розв’язок:

При паралельному перенесенні будь-яка пряма переходить у паралельну їй пряму або в себе. Розв’язати задачу можна аналітичним способом за допомогою підстановки або через перенесення точок прямої.

Спосіб 1. Метод вираження координат

1. Виразимо початкові координати через нові координати:
За формулами паралельного перенесення:

2. Підставимо отримані вирази в початкове рівняння прямої:
Оскільки точка $(x;y)$ належить заданій прямій $x+2y-4=0$, то її образ $(x^{\prime };y^{\prime })$ задовольняє рівняння:

3. Спростимо отримане рівняння:

Замінивши позначення поточних координат $(x^{\prime };y^{\prime })$ на стандартні $(x;y)$, отримуємо шукане рівняння прямої:

Спосіб 2. Геометричний метод (через зміщення точки)

1. Визначимо кутовий коефіцієнт прямої:
Запишемо рівняння прямої у вигляді з кутовим коефіцієнтом:

Оскільки паралельне перенесення переводить пряму в паралельну їй пряму, кутовий коефіцієнт залишається незмінним ($k=-\frac{1}{2}$). Отже, шукана пряма має вигляд:

2. Знайдемо образ однієї з точок початкової прямої:
Візьмемо зручну точку на прямій, наприклад точку перетину з віссю ординат. При $x=0$:

Маємо точку $A(0;2)$. Знайдемо її образ $A^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$ при заданому паралельному перенесенні:

Точка $A(0;2)$ переходить у точку $A^{\prime }(1;0)$.

3. Складемо рівняння прямої, що проходить через точку $A^{\prime }(1;0)$:
Підставимо координати точки $A^{\prime }(1;0)$ у рівняння $y=-\frac{1}{2}x+b$:

Отримуємо рівняння:

Помножимо обидві частини на $2$ та перенесемо всі доданки в ліву частину:

Відповідь:
$x+2y-1=0$