Завдання № 22.12. § 22. Паралельне перенесення (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Запишіть рівняння кола, у яке переходить коло $(x+3{)}^2+(y-7{)}^2=15$ при паралельному перенесенні, заданому формулами: $x^{\prime }=x-5$, $y^{\prime }=y+2$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення характеристик початкового кола
Рівняння кола із центром у точці $O(a;b)$ і радіусом $R$ має вигляд:
$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$

Порівнюючи із заданим рівнянням $(x+3{)}^2+(y-7{)}^2=15$, отримуємо:

• координати центра кола: $O(-3;7)$;
• квадрат радіуса: $R^2=15$.

2. Знаходження нового положення центра кола
При паралельному перенесенні кожна точка фігури зміщується відповідно до заданих формул. Знайдемо координати нового центра $O_1(x^{\prime };y^{\prime })$, підставивши координати точки $O(-3;7)$:
$x^{\prime }=-3-5=-8$
$y^{\prime }=7+2=9$

Отже, центр нового кола розташований у точці $O_1(-8;9)$.

3. Складання рівняння нового кола
Паралельне перенесення є перетворенням руху (ізометрією), тому воно зберігає відстані між точками. Це означає, що при паралельному перенесенні радіус кола залишається незмінним: $R_1=R$, тобто $R_1^2=15$.

Знаючи координати нового центра $O_1(-8;9)$ та радіус, запишемо шукане рівняння:
$(x-(-8){)}^2+(y-9{)}^2=15$
$(x+8{)}^2+(y-9{)}^2=15$

Відповідь:
$(x+8{)}^2+(y-9{)}^2=15$.