Завдання № 22.10. § 22. Паралельне перенесення (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи існує паралельне перенесення, за якого:

1) точка $A(2;-1)$ переходить у точку $B(4;-7)$, а точка $C(0;2)$ — у точку $D(2;-3)$;

2) точка $M(4;-2)$ переходить у точку $N(0;-3)$, а точка $K(3;0)$ — у точку $L(-1;-1)$?

Покроковий розв’язок:
Паралельне перенесення на площині задається формулами:

де $(x;y)$ — координати початкової точки, $(x^{\prime };y^{\prime })$ — координати її образу внаслідок перенесення, а $a$ та $b$ — сталі числа для всіх точок площини.

З геометричної точки зору це означає, що кожна точка площини зміщується на один і той самий вектор $\vec{p}(a;b)$, де $a=x^{\prime }-x$, а $b=y^{\prime }-y$.

1. Дослідження переходів $A\to B$ та $C\to D$

Знайдемо значення величин $a$ і $b$ для випадку, коли точка $A(2;-1)$ переходить у точку $B(4;-7)$:

Знайдемо значення $a$ і $b$ для випадку, коли точка $C(0;2)$ переходить у точку $D(2;-3)$:

Значення зміщення по осі абсцис збігаються ($a=2$), проте значення зміщення по осі ординат є різними: для першої пари $b=-6$, а для другої $b=-5$ (тобто вектори перенесення $\overrightarrow{AB}(2;-6)$ та $\overrightarrow{CD}(2;-5)$ не є рівними: $-6\ne -5$).

Отже, такого паралельного перенесення не існує.

2. Дослідження переходів $M\to N$ та $K\to L$

Знайдемо значення величин $a$ і $b$ для випадку, коли точка $M(4;-2)$ переходить у точку $N(0;-3)$:

Знайдемо значення $a$ і $b$ для випадку, коли точка $K(3;0)$ переходить у точку $L(-1;-1)$:

Для обох пар точок отримано однакові значення коефіцієнтів зміщення: $a=-4$, $b=-1$ (вектори $\overrightarrow{MN}$ та $\overrightarrow{KL}$ є рівними: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{KL}=(-4;-1)$).

Отже, таке паралельне перенесення існує.

Відповідь:

1) Ні;

2) так.