Завдання № 22.1. § 22. Паралельне перенесення (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Які з тверджень є правильними:

1) існує паралельне перенесення, за якого більша основа трапеції переходить у меншу;

2) при паралельному перенесенні коло переходить у коло того самого радіуса;

3) при паралельному перенесенні прямокутний трикутник переходить у рівносторонній;

4) існує паралельне перенесення, за якого сторона паралелограма переходить у паралельну їй сторону?

Покроковий розв’язок:

Паралельне перенесення є рухом (перетворенням, що зберігає відстані між точками). З цієї фундаментальної властивості випливає збереження розмірів, довжин відрізків, кутів і форми геометричних фігур: будь-яка фігура при паралельному перенесенні переходить у рівну їй фігуру.

Проаналізуємо кожне твердження:

1. Більша та менша основи трапеції
Основи трапеції паралельні, але за означенням мають різну довжину (більша основа довша за меншу). Оскільки паралельне перенесення зберігає відстань між будь-якими двома точками, образ відрізка завжди є відрізком тієї самої довжини. Отже, відрізок більшої довжини не може перейти у відрізок меншої довжини.
Твердження 1 — неправильне.

2. Перетворення кола
Коло — це геометричне місце точок, рівновіддалених від центра на відстань радіуса $R$. Оскільки паралельне перенесення є рухом, відстань від центра до кожної точки кола залишається незмінною. Відповідно, центр переходить у нову точку, а радіус кола не змінюється.
Твердження 2 — правильне.

3. Перетворення прямокутного трикутника
При паралельному перенесенні трикутник переходить у рівний йому трикутник, тобто зберігаються як довжини сторін, так і градусні міри кутів. Прямокутний трикутник має кут $90^{\circ }$, тоді як у рівносторонньому трикутнику всі кути дорівнюють $60^{\circ }$. Рух не може змінювати кути фігури.
Твердження 3 — неправильне.

4. Сторони паралелограма
Нехай дано паралелограм $ABCD$, де протилежні сторони $AB$ і $CD$ паралельні та рівні: $AB\parallel CD$ і $AB=CD$. Це означає, що вектори протилежних сторін або співнапрямлені, або протилежно напрямлені: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$. При паралельному перенесенні на вектор $\overrightarrow{AD}$ (або $\overrightarrow{BC}$) вершина $A$ переходить у точку $D$, а вершина $B$ — у точку $C$. Відповідно, сторона $AB$ переходить у протилежну паралельну сторону $DC$. Отже, таке паралельне перенесення існує.
Твердження 4 — правильне.

Відповідь:
Правильними є твердження 2) та 4).