Завдання № 21. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Кожна з площин $\alpha$ і $\beta$ перпендикулярна до площини $\gamma$. Чи можуть площини $\alpha$ і $\beta$:

1) бути паралельними;

2) перетинатися;

3) бути перпендикулярними?

Зробіть малюнки до можливих випадків розміщення.

Покроковий розв’язок:

Розглянемо взаємне розміщення площин $\alpha$ та $\beta$ у просторі за умови, що $\alpha \perp \gamma$ і $\beta \perp \gamma$.

1. Чи можуть площини $\alpha$ і $\beta$ бути паралельними?
Так, площини $\alpha$ і $\beta$ можуть бути паралельними ($\alpha \parallel \beta$).
Якщо дві площини паралельні між собою і одна з них перпендикулярна до третьої площини, то й друга площина перпендикулярна до цієї третьої площини. Прямі їхнього перетину з площиною $\gamma$ будуть паралельними прямими. Наочним прикладом є дві протилежні стіни кімнати, кожна з яких перпендикулярна до площини підлоги, і при цьому вони паралельні між собою.

2. Чи можуть площини $\alpha$ і $\beta$ перетинатися?
Так, площини $\alpha$ і $\beta$ можуть перетинатися.
За теоремою про перетин двох площин, перпендикулярних до третьої: якщо дві площини, що перетинаються, перпендикулярні до третьої площини, то пряма їхнього перетину також перпендикулярна до цієї третьої площини. Кут між площинами $\alpha$ та $\beta$ може бути довільним гострим або тупим кутом. Прикладом можуть слугувати дві площини розкритої книги, поставленої вертикально на стіл.

3. Чи можуть площини $\alpha$ і $\beta$ бути перпендикулярними?
Так, площини $\alpha$ і $\beta$ можуть бути взаємно перпендикулярними ($\alpha \perp \beta$).
Це окремий випадок перетину двох площин, коли лінійний кут двогранного кута між ними дорівнює $90^{\circ }$. Наочним прикладом є дві суміжні стіни прямокутної кімнати: кожна з них перпендикулярна до площини підлоги, і вони перпендикулярні між собою.

Відповідь:

1) Так, можуть;

2) Так, можуть;

3) Так, можуть (у всіх трьох випадках).