Завдання № 21. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У трикутнику $ABC$ $\angle A=45^{\circ }$, $\angle B=75^{\circ }$. Знайдіть відношення довжини сторони $BC$ до довжини сторони $AB$.

Покроковий розв’язок:

1. Обчислення градусної міри кута $C$

Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює $180^{\circ }$:
$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$

Звідси знайдемо кут $C$, протилежний до сторони $AB$:
$\angle C=180^{\circ }-(\angle A+\angle B)=180^{\circ }-(45^{\circ }+75^{\circ })=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$

2. Застосування теореми синусів

За теоремою синусів, сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:
$\frac{BC}{\sin \angle A}=\frac{AB}{\sin \angle C}$

Виразимо відношення довжини сторони $BC$ до довжини сторони $AB$:
$\frac{BC}{AB}=\frac{\sin \angle A}{\sin \angle C}$

3. Розрахунок шуканого відношення

Підставимо відомі значення кутів та їхніх тригонометричних функцій:
$\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Отримуємо:
$\frac{BC}{AB}=\frac{\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Звільнившись від ірраціональності в знаменнику дробу:
$\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

У вигляді числового співвідношення це записується як $\sqrt{2}:\sqrt{3}$.

Відповідь: $\sqrt{2}:\sqrt{3}$ (або $\frac{\sqrt{6}}{3}$)