Завдання № 21. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Модуль вектора $\overrightarrow{c}(x;y)$ дорівнює $\sqrt{17}$. Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{c}$, якщо його координата $y$ в $4$ рази більша за координату $x$.

Покроковий розв’язок:

1. Вираження координат вектора через одну змінну
За умовою задачі координата $y$ у $4$ рази більша за координату $x$, тобто:
$y=4\cdot x$

Тоді вектор $\overrightarrow{c}$ можна записати у вигляді $\overrightarrow{c}(x;4\cdot x)$.

2. Складання рівняння за формулою модуля вектора
Довжина (модуль) вектора із заданими координатами обчислюється за формулою:
$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{x^2+y^2}$

Підставимо у формулу відоме значення довжини вектора $|\overrightarrow{c}|=\sqrt{17}$ та вираз для $y$:
$\sqrt{x^2+(4\cdot x{)}^2}=\sqrt{17}$

3. Розв’язування отриманого рівняння
Перетворимо підкореневий вираз у лівій частині рівняння:
$\sqrt{x^2+16\cdot x^2}=\sqrt{17}$
$\sqrt{17\cdot x^2}=\sqrt{17}$

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата:
$17\cdot x^2=17$
$x^2=1$
$x_1=1\text{або}{x}_2=-1$

4. Обчислення значень ординати $y$
Знайдемо відповідні значення координати $y$ для кожного зі знайдених значень $x$:

• Якщо $x_1=1$, то $y_1=4\cdot 1=4$. Отримуємо вектор $\overrightarrow{c_1}(1;4)$.
• Якщо $x_2=-1$, то $y_2=4\cdot (-1)=-4$. Отримуємо вектор $\overrightarrow{c_2}(-1;-4)$.

Зобразимо отримані вектори на координатній площині:

Відповідь:
$(1;4)$ або $(-1;-4)$.