Завдання № 21. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Доведіть тригонометричну тотожність:

(\frac{1}{sin α} + \frac{1}{cos α})^{2} - (tg α + \frac{1}{tg α})^{2} = \frac{2}{sin α cos α}

Покроковий розв’язок:
Для доведення тотожності перетворимо вираз у лівій частині рівності, звівши його до вигляду правої частини.

1. Перетворення виразу в перших дужках
Зведемо дроби до спільного знаменника $sin α cos α$ :

\frac{1}{sin α} + \frac{1}{cos α} = \frac{cos α + sin α}{sin α cos α}

Піднесемо отриманий дріб до квадрата та застосуємо формулу квадрата суми $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , а також основну тригонометричну тотожність $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ :

(\frac{cos α + sin α}{sin α cos α})^{2} = \frac{( cos α + sin α ) ^{2}}{sin ^{2} α cos ^{2} α} = \frac{cos ^{2} α + 2 sin α cos α + sin ^{2} α}{sin ^{2} α cos ^{2} α} = \frac{1 + 2 sin α cos α}{sin ^{2} α cos ^{2} α}

2. Перетворення виразу в других дужках
Використаємо означення тангенса $tg α = \frac{sin α}{cos α}$ і відповідно $\frac{1}{tg α} = \frac{cos α}{sin α}$ :

tg α + \frac{1}{tg α} = \frac{sin α}{cos α} + \frac{cos α}{sin α} = \frac{sin ^{2} α + cos ^{2} α}{sin α cos α}

Оскільки $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ , маємо:

\frac{sin ^{2} α + cos ^{2} α}{sin α cos α} = \frac{1}{sin α cos α}

Піднесемо отриманий вираз до квадрата:

(\frac{1}{sin α cos α})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} α cos ^{2} α}

3. Знаходження різниці квадратів
Віднімемо від першого отриманого виразу другий:

\frac{1 + 2 sin α cos α}{sin ^{2} α cos ^{2} α} - \frac{1}{sin ^{2} α cos ^{2} α} = \frac{1 + 2 sin α cos α - 1}{sin ^{2} α cos ^{2} α} = \frac{2 sin α cos α}{sin ^{2} α cos ^{2} α}

Скоротимо чисельник і знаменник дробу на спільний множник $sin α cos α$ :

\frac{2 sin α cos α}{sin ^{2} α cos ^{2} α} = \frac{2}{sin α cos α}

У результаті перетворень ліва частина тотожності збіглася з правою частиною:

\frac{2}{sin α cos α} = \frac{2}{sin α cos α}

Тотожність доведено.

Відповідь:
Тотожність доведено.

Завдання № 21. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку