Завдання № 21. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

У рівнобічній трапеції діагональ дорівнює більшій основі й утворює з нею кут $20^{\circ }$. Знайдіть кути цієї трапеції.

Покроковий розв’язок:

Нехай дано рівнобічну трапецію $ABCD$, у якій $BC\parallel AD$, бічні сторони рівні: $AB=CD$.
Діагональ $BD$ дорівнює більшій основі $AD$ ($BD=AD$) та утворює з нею кут $\angle BDA=20^{\circ }$.

1) Розглянемо $△ABD$:
Оскільки за умовою $BD=AD$, то трикутник $△ABD$ є рівнобедреним з основою $AB$.
Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні:
$\angle DAB=\angle DBA$
Сума кутів будь-якого трикутника дорівнює $180^{\circ }$. Знайдемо ці кути:
$\angle DAB=\angle DBA=\frac{180^{\circ }-\angle BDA}{2}=\frac{180^{\circ }-20^{\circ }}{2}=\frac{160^{\circ }}{2}=80^{\circ }$
Отже, гострий кут трапеції $\angle A=80^{\circ }$.

2) Знайдемо кут $\angle D$ трапеції:
Оскільки трапеція $ABCD$ рівнобічна, кути при її більшій основі $AD$ рівні:
$\angle D=\angle A=80^{\circ }$

3) Знайдемо тупі кути трапеції ($\angle B$ та $\angle C$):
Основи трапеції паралельні ($BC\parallel AD$). Кути, прилеглі до бічної сторони, є внутрішніми односторонніми при паралельних прямих і січній, тому їхня сума дорівнює $180^{\circ }$:
$\angle B+\angle A=180^{\circ }⟹\angle B=180^{\circ }-\angle A=180^{\circ }-80^{\circ }=100^{\circ }$

Оскільки в рівнобічній трапеції кути при меншій основі також рівні між собою:
$\angle C=\angle B=100^{\circ }$

Таким чином, кути трапеції дорівнюють $80^{\circ }$, $100^{\circ }$, $100^{\circ }$ та $80^{\circ }$.

Відповідь:
$80^{\circ }$, $100^{\circ }$, $100^{\circ }$, $80^{\circ }$.