Завдання № 21.8. § 21. Поворот (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У яку точку переходить точка $A(2;0)$ при повороті навколо початку координат на:

1) $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою;

2) $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки;

3) $180^{\circ }$?

Покроковий розв’язок:

Початкова точка $A(2;0)$ лежить на додатній півосі абсцис на відстані $OA=2$ одиниці від початку координат $O(0;0)$.

Під час повороту навколо початку координат відстань від точки до центра повороту зберігається, тобто шукані точки також перебуватимуть на відстані $2$ одиниці від точки $O(0;0)$ і лежатимуть на осях координат.

1. Поворот на $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою
При повороті радіус-вектора точки $A(2;0)$ навколо точки $O(0;0)$ на кут $90^{\circ }$ у напрямку руху годинникової стрілки промінь $OA$ переходить у від’ємну піввісь ординат.
Точка на від’ємній півосі ординат на відстані $2$ від початку координат має координати $(0;-2)$.
Також за формулою повороту точки $(x;y)$ на $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою:
$(x;y)\to (y;-x)$
Для точки $A(2;0)$:
$x=2$, $y=0⟹(0;-2)$
Отже, точка $A(2;0)$ переходить у точку $A^{\prime }(0;-2)$.

2. Поворот на $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки
При повороті радіус-вектора точки $A(2;0)$ навколо точки $O(0;0)$ на кут $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки промінь $OA$ переходить у додатну піввісь ординат.
Точка на додатній півосі ординат на відстані $2$ від початку координат має координати $(0;2)$.
За формулою повороту точки $(x;y)$ на $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки:
$(x;y)\to (-y;x)$
Для точки $A(2;0)$:
$x=2$, $y=0⟹(0;2)$
Отже, точка $A(2;0)$ переходить у точку $B(0;2)$.

3. Поворот на $180^{\circ }$
Поворот на кут $180^{\circ }$ навколо початку координат є центральною симетрією відносно точки $O(0;0)$. При цьому напрямок руху (за чи проти годинникової стрілки) приводить до однієї і тієї самої точки.
Промінь $OA$ переходить у протилежний йому промінь — від’ємну піввісь абсцис.
За формулою центральної симетрії відносно початку координат:
$(x;y)\to (-x;-y)$
Для точки $A(2;0)$:
$x=2$, $y=0⟹(-2;0)$
Отже, точка $A(2;0)$ переходить у точку $C(-2;0)$.

Відповідь:

1) $A^{\prime }(0;-2)$;

2) $B(0;2)$;

3) $C(-2;0)$.