Завдання № 21.25. § 21. Поворот (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Бісектриса кута $A$ трикутника $ABC$ перетинає описане навколо нього коло в точці $D$. Знайдіть довжини хорд $DC$ і $DB$, якщо $DI=l$, де $I$ — центр кола, вписаного у трикутник.

Покроковий розв’язок:

1. Властивості вписаних кутів

Оскільки відрізок $AD$ є бісектрисою кута $\angle BAC$, маємо:
$\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle A$

Вписані кути $\angle DBC$ та $\angle DAC$ спираються на одну й ту саму дугу $DC$ описаного кола, тому вони рівні:
$\angle DBC=\angle DAC=\frac{1}{2}\angle A$

2. Доведення рівності відрізків $DB$ і $DI$

Точка $I$ є центром вписаного кола трикутника $ABC$, отже, вона є точкою перетину його бісектрис. Промінь $BI$ — бісектриса кута $\angle ABC$, тому:
$\angle ABI=\angle IBC=\frac{1}{2}\angle B$

Знайдемо величину кута $\angle DBI$:
$\angle DBI=\angle DBC+\angle CBI=\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B$

Розглянемо $△ABI$. Кут $\angle DIB$ є зовнішнім кутом для $△ABI$ при вершині $I$, тому його величина дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним:
$\angle DIB=\angle IAB+\angle IBA=\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B$

Порівнюючи значення кутів, отримуємо:
$\angle DBI=\angle DIB$

За ознакою рівнобедреного трикутника $△DIB$ є рівнобедреним з основою $BI$, звідки:
$DB=DI$

3. Доведення рівності відрізків $DC$ і $DI$

Міркуючи аналогічно для трикутника $△DIC$:

• Промінь $CI$ є бісектрисою кута $\angle C$, отже, $\angle ACI=\angle ICB=\frac{1}{2}\angle C$.
• Вписані кути $\angle DCB$ і $\angle DAB$ спираються на дугу $BD$, отже, $\angle DCB=\angle DAB=\frac{1}{2}\angle A$.
• Тоді:
  $\angle DCI=\angle DCB+\angle BCI=\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle C$
• Кут $\angle DIC$ є зовнішнім для $△AIC$:
  $\angle DIC=\angle IAC+\angle ICA=\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle C$

Оскільки $\angle DCI=\angle DIC$, трикутник $△DIC$ також є рівнобедреним з основою $CI$, звідки:
$DC=DI$

(Цей факт відомий у геометрії як лема про трилисник, або теорема Мансіона).

4. Знаходження шуканих довжин

За умовою задачі $DI=l$. Враховуючи отримані рівності:
$DB=DI=l$
$DC=DI=l$

Відповідь:
$DC=l$, $DB=l$.