Завдання № 21.21. § 21. Поворот (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Кут між векторами $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ дорівнює $45^{\circ }$, $|\overrightarrow{a}|=2\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{b}|=3$. Знайдіть $|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|$.

Покроковий розв’язок:

1. Зв’язок між модулем вектора та його скалярним квадратом
Для будь-якого вектора скалярний квадрат дорівнює квадрату його довжини (модуля):
$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}{|}^2=(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}{)}^2$

2. Розкриття квадрата різниці векторів
За формулою скороченого множення для векторів отримуємо:
$(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}{)}^2={\overrightarrow{a}}^2-4(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})+4{\overrightarrow{b}}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2-4(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})+4|\overrightarrow{b}{|}^2$

3. Обчислення скалярного добутку векторів
За означенням скалярного добутку:
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \cos 45^{\circ }$

Підставимо відомі значення:
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2\sqrt{2}\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\cdot 1=6$

4. Обчислення квадрата шуканого модуля
Підставимо значення довжин векторів та знайдений скалярний добуток:
$|\overrightarrow{a}{|}^2=(2\sqrt{2}{)}^2=4\cdot 2=8$
$|\overrightarrow{b}{|}^2=3^2=9$

Тоді:
$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}{|}^2=8-4\cdot 6+4\cdot 9=8-24+36=20$

5. Знаходження довжини вектора
Оскільки довжина вектора є величиною невід’ємною:
$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$

Відповідь:
$2\sqrt{5}$