Завдання № 21.18. § 21. Поворот (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Дано відрізок $AB$. За допомогою циркуля і лінійки виконайте поворот навколо його середини на $120^{\circ }$ за годинниковою стрілкою.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження центра повороту
Центром повороту є середина даного відрізка $AB$.

• За допомогою циркуля і лінійки ділимо відрізок $AB$ навпіл (будуємо серединний перпендикуляр).
• Точку перетину серединного перпендикуляра з відрізком $AB$ позначаємо як $O$. Отже, точка $O$ — середина відрізка $AB$, тобто $OA=OB$.

2. Побудова образу точки $A$ при повороті на $120^{\circ }$ за годинниковою стрілкою
Оскільки кут $120^{\circ }=60^{\circ }+60^{\circ }$, побудуємо його як суму двох кутів по $60^{\circ }$ за допомогою рівносторонніх трикутників:

• Відрізок $OA$ спрямований від точки $O$ ліворуч. Оскільки поворот здійснюється за годинниковою стрілкою, промінь $OA$ має повернутися у верхню півплощину.
• Будуємо кут $60^{\circ }$: на відрізку $OA$ будуємо рівносторонній трикутник $△AKO$. Для цього циркулем із розхилом, що дорівнює довжині відрізка $OA$, проводимо дві дуги з центрами в точках $A$ та $O$. Їх точку перетину у верхній півплощині позначаємо як $K$. Оскільки трикутник $△AKO$ рівносторонній, усі його внутрішні кути дорівнюють $60^{\circ }$, зокрема $\angle AOK=60^{\circ }$, а $OK=OA$.
• Будуємо другий кут $60^{\circ }$: на стороні $KO$ будуємо рівносторонній трикутник $△KO{A}^{\prime }$ так, щоб $\angle KO{A}^{\prime }=60^{\circ }$ у напрямку за годинниковою стрілкою. Точка $A^{\prime }$ лежить на відстані $O{A}^{\prime }=OK=OA$ від точки $O$.
• Тоді величина кута повороту дорівнює:
  $\angle AO{A}^{\prime }=\angle AOK+\angle KO{A}^{\prime }=60^{\circ }+60^{\circ }=120^{\circ }$
• Оскільки $O{A}^{\prime }=OA$ та кут $\angle AO{A}^{\prime }=120^{\circ }$ (за годинниковою стрілкою), точка $A^{\prime }$ є шуканим образом точки $A$ при даному повороті.

3. Побудова образу точки $B$

• Точка $O$ є серединою початкового відрізка $AB$, тому промені $OA$ та $OB$ є взаємно доповняльними, а точки $A$, $O$, $B$ лежать на одній прямій ($OB=OA$).
• При русі (повороті) збережено відстані між точками та порядок їх розташування, тому середина відрізка залишається серединою отриманого відрізка.
• Отже, образ точки $B$ — точка $B^{\prime }$ — належить продовженню променя $A^{\prime }O$ за точку $O$. Відкладаємо на продовженні променя $A^{\prime }O$ за точку $O$ відрізок $O{B}^{\prime }=O{A}^{\prime }$.

4. Результат побудови
Сполучаємо точки $A^{\prime }$ та $B^{\prime }$ відрізком. Відрізок $A^{\prime }{B}^{\prime }$ є шуканим образом відрізка $AB$ при повороті навколо точки $O$ на $120^{\circ }$ за годинниковою стрілкою.

Відповідь:
Побудовано відрізок $A^{\prime }{B}^{\prime }$ — образ відрізка $AB$ при повороті навколо його середини $O$ на кут $120^{\circ }$ за годинниковою стрілкою.