Завдання № 21.17. § 21. Поворот (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Знайдіть координати точки $B^{\prime }$, у яку переходить точка $B(0;2)$ при повороті навколо початку координат на кут $45^{\circ }$ проти годинникової стрілки.

Покроковий розв’язок:

1. Властивості повороту

Поворот навколо точки є рухом (переміщенням), тому він зберігає відстані між точками.
Оскільки початок координат $O(0;0)$ є центром повороту, відстань від центра повороту до образу точки дорівнює відстані до самої точки:
$O{B}^{\prime }=OB$

Точка $B$ лежить на додатній півосі ординат, отже:
$OB=2⟹O{B}^{\prime }=2$

2. Геометрична побудова

При повороті проти годинникової стрілки на кут $45^{\circ }$ відрізок $OB$ переходить у відрізок $O{B}^{\prime }$. Оскільки початковий промінь $OB$ збігається з додатною піввіссю $Oy$, новий промінь $O{B}^{\prime }$ утворює з віссю ординат кут $\angle B^{\prime }OB=45^{\circ }$ та розташовується у II координатній чверті.

Опустимо перпендикуляр $B^{\prime }M$ з точки $B^{\prime }$ на вісь ординат ($M\in Oy$).

3. Обчислення довжин сторін прямокутного трикутника

Розглянемо прямокутний трикутник $△OM{B}^{\prime }$ ($\angle OM{B}^{\prime }=90^{\circ }$):

• Гіпотенуза $O{B}^{\prime }=2$;
• Гострий кут $\angle B^{\prime }OM=45^{\circ }$.

Оскільки один із гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $45^{\circ }$, $△OM{B}^{\prime }$ є рівнобедреним ($OM=M{B}^{\prime }$).

Знайдемо довжини катетів за означенням тригонометричних функцій:
$OM=O{B}^{\prime }\cdot \cos 45^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
$M{B}^{\prime }=O{B}^{\prime }\cdot \sin 45^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

4. Визначення координат точки $B^{\prime }$

Точка $B^{\prime }$ лежить у II координатній чверті, тому її абсциса є від’ємною, а ордината — додатною:

• Абсциса: $x=-M{B}^{\prime }=-\sqrt{2}$
• Ордината: $y=OM=\sqrt{2}$

Отже, координати точки $B^{\prime }$ дорівнюють $(-\sqrt{2};\sqrt{2})$.

Відповідь:
$B^{\prime }(-\sqrt{2};\sqrt{2})$