Завдання № 21.16. § 21. Поворот (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Знайдіть координати точки $A^{\prime }$, у яку переходить точка $A(2;0)$ при повороті навколо початку координат на кут $45^{\circ }$ за годинниковою стрілкою.

Покроковий розв’язок:

1. Властивість повороту та довжина відрізка
Поворот є рухом, тому він зберігає відстані між точками. Оскільки початком координат є точка $O(0;0)$, то відстань від центра повороту до точки-образу дорівнює відстані до точки-прообразу:
$OA=2-0=2⟹O{A}^{\prime }=OA=2$

2. Геометричні побудови
Опустимо перпендикуляр $A^{\prime }K$ з точки $A^{\prime }$ на додатну піввісь абсцис ($Ox$). Утворився прямокутний трикутник $△OK{A}^{\prime }$ ($\angle OK{A}^{\prime }=90^{\circ }$).

Оскільки поворот здійснено на кут $45^{\circ }$ за годинниковою стрілкою від додатної півосі $Ox$, то кут при вершині $O$ дорівнює:
$\angle KO{A}^{\prime }=45^{\circ }$

Звідси випливає, що прямокутний трикутник $△OK{A}^{\prime }$ є також рівнобедреним, оскільки:
$\angle O{A}^{\prime }K=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$

3. Обчислення катетів трикутника
За означенням тригонометричних функцій у прямокутному трикутнику $△OK{A}^{\prime }$:
$OK=O{A}^{\prime }\cdot \cos 45^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
$A^{\prime }K=O{A}^{\prime }\cdot \sin 45^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

4. Визначення координат точки $A^{\prime }$
Точка $A$ лежала на додатній півосі $Ox$. При повороті за годинниковою стрілкою на кут $45^{\circ }$ точка $A^{\prime }$ опиняється в IV координатній чверті, де абсциса є додатною, а ордината — від’ємною:
$x=OK=\sqrt{2}$
$y=-A^{\prime }K=-\sqrt{2}$

Таким чином, точка $A^{\prime }$ має координати $(\sqrt{2};-\sqrt{2})$.

Відповідь:
$A^{\prime }(\sqrt{2};-\sqrt{2})$