Завдання № 21.15. § 21. Поворот (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

1) Точка $B(4;m)$ переходить у точку $B^{\prime }(-3;n)$ при повороті навколо початку координат на кут $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки. Знайдіть значення $m$ і $n$.

2) Обчисліть суму $m+n$, яка відповідає кількості українок, включених у 2023 році до світового рейтингу «100 найуспішніших жінок у науці».

Покроковий розв’язок:

1. Формула повороту навколо початку координат
Нехай точку $P(x;y)$ повертають навколо початку координат $O(0;0)$ на кут $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки (у додатному напрямку).

Координати її образу $P^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$ визначаються за формулами повороту:

Оскільки $\cos 90^{\circ }=0$, а $\sin 90^{\circ }=1$, отримуємо загальне правило переходу:
$(x;y)\to (-y;x)$

2. Знаходження невідомих $m$ і $n$
Застосуємо встановлене правило до точки $B(4;m)$:
$B(4;m)\to B^{\prime }(-m;4)$

За умовою задачі координатами точки $B^{\prime }$ є $(-3;n)$. Порівняємо відповідні координати:
$-m=-3⟹m=3$
$n=4$

Отже, шукані значення дорівнюють $m=3$ та $n=4$, а точка мала початкові координати $B(4;3)$ і перейшла в точку $B^{\prime }(-3;4)$.

3. Обчислення шуканої суми
Обчислимо суму знайдених величин:
$m+n=3+4=7$

Відповідь:
$m=3$, $n=4$; сума $m+n=7$.