Завдання № 21.14. § 21. Поворот (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

1) Точка $A(m;-3)$ переходить у точку $A^{\prime }(n;4)$ при повороті навколо початку координат на $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою. Знайдіть $m$ і $n$.

2) Обчисліть добуток $m\cdot n$, відтак дізнаєтеся, скільки діб провів на орбіті перший космонавт незалежної України Леонід Каденюк.

Покроковий розв’язок:

1. Встановлення правила повороту точки на $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою

Загальні формули повороту точки $P(x;y)$ навколо початку координат $O(0;0)$ на кут $\alpha$ мають вигляд:

Поворот за годинниковою стрілкою на кут $90^{\circ }$ відповідає куту повороту $\alpha =-90^{\circ }$.
Оскільки $\cos (-90^{\circ })=0$, а $\sin (-90^{\circ })=-1$, маємо:

Отже, при повороті навколо початку координат на $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою точка з координатами $(x;y)$ переходить у точку з координатами $(y;-x)$.

2. Знаходження значень $m$ і $n$

Для початкової точки $A(m;-3)$ маємо $x=m$, $y=-3$.
Згідно з правилом перетворення, її образ $A^{\prime }$ матиме координати:
$x^{\prime }=y=-3$
$y^{\prime }=-x=-m$
Тобто $A^{\prime }(-3;-m)$.

За умовою координати точки-образу дорівнюють $A^{\prime }(n;4)$. Прирівняємо відповідні координати:
$n=-3$
$-m=4⟹m=-4$

Таким чином, початкова точка має координати $A(-4;-3)$, а її образ — $A^{\prime }(-3;4)$.

3. Геометрична ілюстрація перетворення

4. Обчислення добутку $m\cdot n$

Знайдемо добуток отриманих чисел:
$m\cdot n=(-4)\cdot (-3)=12$

Отже, перший космонавт незалежної України Леонід Каденюк провів на навколоземній орбіті $12\text{ діб}$.

Відповідь:

1) $m=-4$, $n=-3$;

2) $m\cdot n=12$ ($12\text{ діб}$).