Завдання № 21.13. § 21. Поворот (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
На який найменший кут треба повернути квадрат відносно його центра симетрії, щоб він перейшов сам у себе?

Покроковий розв’язок:
1. Визначення центра повороту
Центром симетрії квадрата є точка перетину його діагоналей (позначимо її точкою $O$).

2. Аналіз кутів між радіусами повороту вершин
Діагоналі квадрата рівні, точкою перетину діляться навпіл і є взаємно перпендикулярними:
$OA=OB=OC=OD$
$AC\perp BD$
Кут повного оберту навколо точки $O$ становить $360^{\circ }$. Чотири відрізки $OA$, $OB$, $OC$ та $OD$ ділять повний кут на $4$ рівні прямі кути:
$\angle AOB=\angle BOC=\angle COD=\angle DOA=\frac{360^{\circ }}{4}=90^{\circ }$

3. Дослідження умови самосуміщення
Щоб квадрат перейшов сам у себе при повороті навколо точки $O$, кожна його вершина повинна суміститися з однією з вершин початкового квадрата:

• При повороті на кут $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою вершина $A$ переходить у $B$, $B$ — у $C$, $C$ — у $D$, а $D$ — у $A$.
• Відповідно сторони переходять у сторони ($AB\to BC$, $BC\to CD$, $CD\to DA$, $DA\to AB$), тобто фігура повністю суміщається сама із собою.
• При будь-якому повороті на кут $\alpha$, де $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$, жодна з вершин квадрата не перейде у вершину, тому квадрат не суміститься сам із собою.

Отже, найменший кут повороту становить $90^{\circ }$.

Відповідь:
$90^{\circ }$.