Завдання № 21.12. § 21. Поворот (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Побудуйте точки, у які переходять точки $M(-4;2)$, $N(1;-1)$, $K(4;3)$, $L(-2;-2)$ при повороті на $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою навколо початку координат. Укажіть координати одержаних точок.

Покроковий розв’язок:

1. Формула повороту на $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою
Нехай точка $A(x;y)$ здійснює поворот навколо початку координат $O(0;0)$ на кут $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою (тобто в додатному для годинникової стрілки напрямку, що відповідає куту $-90^{\circ }$).

Загальні формули повороту точки на кут $\alpha$ мають вигляд:

Для кута повороту $\alpha =-90^{\circ }$ маємо:

Підставивши ці значення, одержуємо співвідношення координат для образу точки $(x^{\prime };y^{\prime })$:

Отже, при повороті на $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою навколо початку координат довільна точка $(x;y)$ переходить у точку з координатами:
$(x;y)\to (y;-x)$

2. Обчислення координат образів заданих точок
Застосуємо отримане правило до кожної з точок:

1) Для точки $M(-4;2)$:
$x^{\prime }=2,y^{\prime }=-(-4)=4⟹M^{\prime }(2;4)$

2) Для точки $N(1;-1)$:
$x^{\prime }=-1,y^{\prime }=-1⟹N^{\prime }(-1;-1)$

3) Для точки $K(4;3)$:
$x^{\prime }=3,y^{\prime }=-4⟹K^{\prime }(3;-4)$

4) Для точки $L(-2;-2)$:
$x^{\prime }=-2,y^{\prime }=-(-2)=2⟹L^{\prime }(-2;2)$

3. Побудова точок на координатній площині
Позначимо задані початкові точки та їхні образи на системі координат:

• Початкові точки: $M(-4;2)$, $N(1;-1)$, $K(4;3)$, $L(-2;-2)$.
• Отримані точки після повороту: $M^{\prime }(2;4)$, $N^{\prime }(-1;-1)$, $K^{\prime }(3;-4)$, $L^{\prime }(-2;2)$.

Відповідь:
$M^{\prime }(2;4)$, $N^{\prime }(-1;-1)$, $K^{\prime }(3;-4)$, $L^{\prime }(-2;2)$.