Завдання № 21.11. § 21. Поворот (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Побудуйте точки, у які переходять точки $A(3;-1)$, $B(-2;2)$, $C(1;2)$, $D(-4;-4)$ при повороті на $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки навколо початку координат. Укажіть координати одержаних точок.

Покроковий розв’язок:

1. Правило повороту на $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки
Нехай задано довільну точку $P(x;y)$. При повороті навколо початку координат $O(0;0)$ на кут $90^{\circ }$ проти годинникової стрілки (додатний напрямок повороту):

• вісь абсцис переходить у вісь ординат ($Ox\to Oy$);
• додатна піввісь ординат переходить у від’ємну піввісь абсцис ($Oy\to -Ox$).

Отже, формули переходу для координат мають вигляд:

Тобто довільна точка $(x;y)$ переходить у точку $(-y;x)$.

2. Знаходження координат образів заданих точок
Застосуємо отримане правило до кожної з точок:

• Для точки $A(3;-1)$:
  $x^{\prime }=-(-1)=1,y^{\prime }=3⟹A^{\prime }(1;3)$

• Для точки $B(-2;2)$:
  $x^{\prime }=-2,y^{\prime }=-2⟹B^{\prime }(-2;-2)$

• Для точки $C(1;2)$:
  $x^{\prime }=-2,y^{\prime }=1⟹C^{\prime }(-2;1)$

• Для точки $D(-4;-4)$:
  $x^{\prime }=-(-4)=4,y^{\prime }=-4⟹D^{\prime }(4;-4)$

3. Побудова точок у декартовій системі координат
Позначимо початкові точки чорним кольором, а їхні образи після повороту — червоним:

Відповідь:
$A^{\prime }(1;3)$, $B^{\prime }(-2;-2)$, $C^{\prime }(-2;1)$, $D^{\prime }(4;-4)$.