Завдання № 21.1. § 21. Поворот (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

У яку точку при повороті на кут $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою навколо точки $O$ (мал. 21.8) переходить точка:

1) $B$;

2) $D$;

3) $A$;

4) $C$?

Покроковий розв’язок:

За означенням, поворот навколо точки $O$ на кут $\alpha$ — це геометричне перетворення, яке переводить будь-яку точку $X$ у точку $X^{\prime }$ так, що:

1) $OX=O{X}^{\prime }$;

2) $\angle XO{X}^{\prime }=\alpha$ у заданому напрямку (за годинниковою або проти годинникової стрілки).

За умовою та малюнком 21.8:

• Прямі $AC$ і $BD$ перпендикулярні, отже, кути між сусідніми променями становлять $90^{\circ }$:
  $\angle AOB=\angle BOC=\angle COD=\angle DOA=90^{\circ }$
• Точка $O$ є спільною серединою рівних відрізків, тобто відстані від центра повороту до всіх точок однакові: $OA=OB=OC=OD$.
• Напрямок за годинниковою стрілкою навколо центра $O$ визначає послідовність обходу точок:
  $A⟶B⟶C⟶D⟶A$

Визначимо образ кожної точки при повороті на кут $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою:

1) Точка $B$:
Від променя $OB$ відкладаємо кут $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою. Оскільки $\angle BOC=90^{\circ }$ та $OB=OC$, точка $B$ переходить у точку $C$.

2) Точка $D$:
Від променя $OD$ відкладаємо кут $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою. Оскільки $\angle DOA=90^{\circ }$ та $OD=OA$, точка $D$ переходить у точку $A$.

3) Точка $A$:
Від променя $OA$ відкладаємо кут $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою. Оскільки $\angle AOB=90^{\circ }$ та $OA=OB$, точка $A$ переходить у точку $B$.

4) Точка $C$:
Від променя $OC$ відкладаємо кут $90^{\circ }$ за годинниковою стрілкою. Оскільки $\angle COD=90^{\circ }$ та $OC=OD$, точка $C$ переходить у точку $D$.

Відповідь:

1) $C$;

2) $A$;

3) $B$;

4) $D$.