Завдання № 20. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Якого найменшого значення може набувати вираз $\sqrt{x^2+y^2-6x+8y+25}+\sqrt{x^2+y^2+2x-4y+5}$?

Покроковий розв’язок:

1. Перетворення підкореневих виразів
Виділимо повні квадрати для змінних $x$ та $y$ під кожним із квадратних коренів:

• Для першого підкореневого виразу розіб’ємо число $25$ на доданки $9+16$:
  $x^2-6x+8y+y^2+25=(x^2-6x+9)+(y^2+8y+16)=(x-3{)}^2+(y+4{)}^2$
• Для другого підкореневого виразу розіб’ємо число $5$ на доданки $1+4$:
  $x^2+2x-4y+y^2+5=(x^2+2x+1)+(y^2-4y+4)=(x+1{)}^2+(y-2{)}^2$

Отже, початковий вираз набуває вигляду:
$\sqrt{(x-3{)}^2+(y+4{)}^2}+\sqrt{(x+1{)}^2+(y-2{)}^2}$

2. Геометрична інтерпретація виразу
Згадаємо формулу відстані між двома точками на декартовій площині: $d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$.

Розглянемо довільну точку $K(x;y)$ та дві фіксовані точки:

• $A(3;-4)$, тоді відстань $AK=\sqrt{(x-3{)}^2+(y-(-4){)}^2}=\sqrt{(x-3{)}^2+(y+4{)}^2}$;
• $B(-1;2)$, тоді відстань $BK=\sqrt{(x-(-1){)}^2+(y-2{)}^2}=\sqrt{(x+1{)}^2+(y-2{)}^2}$.

Таким чином, значення заданого виразу дорівнює сумі відстаней від змінної точки $K$ до фіксованих точок $A$ та $B$, тобто $AK+KB$.

3. Застосування нерівності трикутника
За нерівністю трикутника для будь-яких трьох точок $A$, $B$ та $K$ площини справджується співвідношення:
$AK+KB\ge AB$

Сума $AK+KB$ набуває свого найменшого значення тоді й лише тоді, коли точка $K$ лежить на відрізку $AB$ між точками $A$ та $B$. У цьому випадку найменше значення суми дорівнює довжині відрізка $AB$.

4. Обчислення довжини відрізка $AB$
Обчислимо довжину відрізка $AB$ за координатами його кінців $A(3;-4)$ і $B(-1;2)$:

Отже, найменше можливе значення заданого виразу дорівнює $2\sqrt{13}$.

Відповідь:
$2\sqrt{13}$