Завдання № 20. Вправи для повторення розділу 6 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Пряма $a$ належить площині $\alpha$ і перетинає пряму $b$, яка належить площині $\beta$. Чи можуть площини $\alpha$ і $\beta$:

1) бути паралельними;

2) перетинатися;

3) бути перпендикулярними?

Зробіть малюнки до можливих випадків розміщення.

Покроковий розв’язок:

Нехай точка перетину прямих $a$ і $b$ — це точка $P$, тобто $a\cap b=\{P\}$.

Оскільки за умовою пряма $a$ повністю лежить у площині $\alpha$ ($a\subset \alpha$), а точка $P$ належить прямій $a$ ($P\in a$), то точка $P$ належить площині $\alpha$ ($P\in \alpha$).

Аналогічно, пряма $b$ лежить у площині $\beta$ ($b\subset \beta$), а точка $P$ належить прямій $b$ ($P\in b$), тому точка $P$ належить площині $\beta$ ($P\in \beta$).

Таким чином, точка $P$ є спільною точкою площин $\alpha$ і $\beta$ ($P\in \alpha \cap \beta$).

1. Дослідження можливості паралельності площин

За означенням, паралельні площини не мають жодної спільної точки ($\alpha \cap \beta =\varnothing$). Оскільки площини $\alpha$ і $\beta$ мають спільну точку $P$, вони не можуть бути паралельними.

2. Дослідження можливості перетину площин

За аксіомою стереометрії, якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку. Оскільки точка $P$ належить обом площинам, площини $\alpha$ і $\beta$ можуть перетинатися по прямій $c$, що містить точку $P$ ($c=\alpha \cap \beta$, $P\in c$).

3. Дослідження можливості перпендикулярності площин

Перпендикулярність площин є окремим випадком їхнього перетину, коли двогранний кут між ними дорівнює $90^{\circ }$ ($\alpha \perp \beta$). Оскільки площини $\alpha$ і $\beta$ перетинаються по прямій $c$, кут між ними може дорівнювати $90^{\circ }$, отже, площини можуть бути перпендикулярними.

Відповідь:

1) Ні, не можуть;

2) Так, можуть;

3) Так, можуть.