Завдання № 20. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник з вершинами $A(5;7)$, $B(6;4)$, $C(3;3)$, $D(2;6)$ — квадрат.

Покроковий розв’язок:

Щоб довести, що чотирикутник $ABCD$ є квадратом за допомогою векторів, достатньо послідовно показати:

1) Протилежні сторони чотирикутника рівні та паралельні (чотирикутник є паралелограмом).

2) Сусідні сторони чотирикутника рівні за довжиною (паралелограм з рівними сторонами є ромбом).

3) Сусідні сторони взаємно перпендикулярні (ромб із прямим кутом є квадратом).

1. Доведення того, що чотирикутник $ABCD$ — паралелограм

Координати вектора з початком у точці $(x_1;y_1)$ і кінцем у точці $(x_2;y_2)$ знаходять за формулою:

Знайдемо координати векторів протилежних сторін $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{DC}$:

Оскільки вектори $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{DC}$ мають однакові координати, то:

З рівності векторів випливає, що вони співнапрямлені ($\overrightarrow{AB}\uparrow \uparrow \overrightarrow{DC}$, отже, $AB\parallel DC$) та мають рівні довжини ($|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$, тобто $AB=DC$). Чотирикутник, у якого дві протилежні сторони рівні й паралельні, є паралелограмом за ознакою. Отже, $ABCD$ — паралелограм.

2. Обчислення довжин сусідніх сторін

Знайдемо координати вектора сторони $\overrightarrow{BC}$:

Довжина вектора $\vec{a}(x;y)$ визначається за формулою $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Обчислимо довжини векторів $\overrightarrow{AB}$ та $\overrightarrow{BC}$:

Оскільки $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{10}$, паралелограм $ABCD$ має рівні сусідні сторони, отже, він є ромбом.

3. Перевірка перпендикулярності сусідніх сторін

Сусідні сторони перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

Знайдемо координати вектора $\overrightarrow{BA}$:

Обчислимо скалярний добуток векторів $\overrightarrow{BA}$ та $\overrightarrow{BC}$:

Оскільки скалярний добуток дорівнює нулю і вектори ненульові, то:

4. Висновок

Чотирикутник $ABCD$ є ромбом (усі сторони рівні $\sqrt{10}$) і має прямий кут ($\angle B=90^{\circ }$). Ромб із прямим кутом є квадратом за означенням.

Відповідь:
Доведено: оскільки $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=(1;-3)$, $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{10}$ та $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ ($\angle B=90^{\circ }$), чотирикутник $ABCD$ є квадратом.