Завдання № 20. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Знайдіть суму квадратів синусів гострих кутів прямокутного трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Зв’язок між гострими кутами прямокутного трикутника

Розглянемо прямокутний трикутник $△ A B C$ із прямим кутом $∠ C = 9 0^{\circ}$ .

Оскільки сума всіх внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює $18 0^{\circ}$ , сума його гострих кутів становить:

∠ A + ∠ B = 9 0^{\circ}

Звідси виразимо кут $∠ B$ через кут $∠ A$ :

∠ B = 9 0^{\circ} - ∠ A

2. Застосування формул зведення

З формул зведення відомо, що для будь-якого гострого кута виконується рівність:

sin (9 0^{\circ} - ∠ A) = cos ∠ A

Отже:

sin ∠ B = sin (9 0^{\circ} - ∠ A) = cos ∠ A

3. Обчислення суми квадратів синусів

Запишемо суму квадратів синусів гострих кутів та підставимо отриманий вираз:

sin^{2} ∠ A + sin^{2} ∠ B = sin^{2} ∠ A + cos^{2} ∠ A

За основною тригонометричною тотожністю для будь-якого кута сума квадратів синуса й косинуса дорівнює $1$ :

sin^{2} ∠ A + cos^{2} ∠ A = 1

Таким чином, сума квадратів синусів гострих кутів прямокутного трикутника завжди дорівнює $1$ .

Відповідь:
$1$