Завдання № 20. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Знайдіть кути ромба, сторона якого утворює з його діагоналями кути, що відносяться як $1:4$.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано ромб $ABCD$, діагоналі якого $AC$ і $BD$ перетинаються в точці $O$.

1. Використання властивостей діагоналей ромба

Розглянемо сторону $AB$ та кути, які вона утворює з діагоналями $AC$ і $BD$, тобто кути $\angle BAC$ (або $\angle BAO$) та $\angle ABD$ (або $\angle ABO$).

За властивістю ромба:

• діагоналі є взаємно перпендикулярними: $AC\perp BD$, отже, $△ABO$ — прямокутний ($\angle AOB=90^{\circ }$);
• діагоналі є бісектрисами його внутрішніх кутів.

2. Складання рівняння для кутів прямокутного трикутника

За умовою кути між стороною і діагоналями відносяться як $1:4$. Введемо коефіцієнт пропорційності $x>0$:

Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника $△ABO$ дорівнює $90^{\circ }$, маємо:

Отже:

3. Обчислення кутів ромба

Оскільки діагоналі ромба ділять його кути навпіл:

Протилежні кути ромба рівні, тому:

Відповідь: $36^{\circ }$, $144^{\circ }$, $36^{\circ }$, $144^{\circ }$.