Завдання № 20.9. § 20. Симетрія відносно прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Накресліть прямокутний трикутник $ABC$ з гіпотенузою $AB$. Побудуйте трикутник, симетричний трикутнику $ABC$ відносно прямої $AC$.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз властивостей осьової симетрії
За означенням осьової симетрії відносно прямої $l$:

• Кожна точка осі симетрії відображається сама в себе.
• Для будь-якої точки, що не належить осі, вісь симетрії є серединним перпендикуляром до відрізка, що сполучає цю точку з її образом.

2. Відображення вершин трикутника $△ABC$

• Пряма $AC$ є віссю симетрії. Вершини $A$ і $C$ належать цій прямій, тому при симетрії відносно прямої $AC$ вони залишаються нерухомими (переходять самі в себе): точки $A$ і $C$ є своїми власними образами.
• Оскільки за умовою $AB$ — гіпотенуза прямокутного трикутника $ABC$, то кут $\angle C=90^{\circ }$, тобто катет $BC$ перпендикулярний до осі симетрії $AC$ ($BC\perp AC$).
• Отже, пряма, яка проходить через точку $B$ перпендикулярно до осі $AC$, збігається з прямою $BC$.
• Для знаходження точки $B^{\prime }$, симетричної точці $B$, відкладаємо на продовженні катета $BC$ за точку $C$ (на доповняльному промені до променя $CB$) відрізок $C{B}^{\prime }$, що дорівнює відрізку $CB$:
  $C{B}^{\prime }=CB$

3. Побудова шуканого трикутника
Сполучаємо побудовану точку $B^{\prime }$ з вершиною $A$.
Отриманий прямокутний трикутник $△A{B}^{\prime }C$ є шуканим образом трикутника $△ABC$ при осьовій симетрії відносно прямої $AC$.

Відповідь: Побудовано прямокутний трикутник $△A{B}^{\prime }C$, симетричний трикутнику $△ABC$ відносно прямої $AC$, де точка $B^{\prime }$ лежить на продовженні катета $BC$ за вершину $C$ так, що $C{B}^{\prime }=CB$.