Назад до розділу • Головний зміст
Умова:
(Київська математична олімпіада, 1993 р.) Дано три ненульові вектори , і , які попарно неколінеарні. Доведіть, що коли вектор колінеарний вектору , а вектор колінеарний вектору , то вектор колінеарний вектору . Знайдіть суму векторів .
Покроковий розв’язок:
1. Використання умови колінеарності векторів
За означенням колінеарності двох векторів, якщо ненульовий вектор колінеарний іншому ненульовому вектору, то існує таке число, що один вектор дорівнює добутку цього числа на інший.
Оскільки вектор колінеарний вектору , то існує таке дійсне число , що:
Оскільки вектор колінеарний вектору , то існує таке дійсне число , що:
2. Знаходження значень коефіцієнтів та
Віднімемо почленно другу рівність від першої:
Спростимо ліву частину:
Згрупуємо доданки з вектором в лівій частині рівності, а з вектором — у правій:
За умовою задачі вектори і є ненульовими та неколінеарними. Рівність такого вигляду для неколінеарних векторів можлива тоді й лише тоді, коли обидва числові коефіцієнти одночасно дорівнюють нулю:
3. Знаходження суми векторів
Підставимо знайдене значення у рівність :
Додамо вектор до обох частин рівності:
4. Доведення колінеарності векторів та
З отриманої рівності виразимо суму векторів :
Оскільки , то за означенням колінеарних векторів вектор є колінеарним вектору (а саме, вони протилежно напрямлені: та мають рівні довжини).
Твердження повністю доведено.
Відповідь:
.