Завдання № 20.22. § 20. Симетрія відносно прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Пожежна драбина висунута на $17\text{ м}$ при граничному куті підйому $72^{\circ }$. Знайдіть висоту, якої досяг верхній кінець драбини, якщо її нижній кінець віддалений від поверхні землі на $1\text{ м}$.

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична модель задачі

Нехай відрізок $AB=17\text{ м}$ зображує пожежну драбину, де точка $A$ — її нижній кінець, а точка $B$ — верхній кінець.

Проведемо з точки $A$ горизонтальну пряму до перетину з вертикальною стіною в точці $K$. Тоді утворюється прямокутний трикутник $ABK$ із прямим кутом $\angle AKB=90^{\circ }$.

За умовою, кут підйому драбини до горизонту становить:
$\angle BAK=72^{\circ }$

Нижній кінець драбини піднятий над поверхнею землі на $1\text{ м}$, тому висота точки $K$ від землі дорівнює:
$KC=1\text{ м}$

Загальна висота $BC$, якої досягає верхній кінець драбини, складається з двох частин:
$BC=BK+KC$

2. Обчислення висоти $BK$ з прямокутного трикутника

У прямокутному трикутнику $ABK$ за означенням синуса гострого кута відношення протилежного катета до гіпотенузи дорівнює синусу цього кута:
$\sin (\angle BAK)=\frac{BK}{AB}$

Звідси виразимо довжину катета $BK$:
$BK=AB\cdot \sin 72^{\circ }$

Значення синуса кута $72^{\circ }$ за таблицями або калькулятором становить $\sin 72^{\circ }\approx 0,9511$.

Підставимо числові дані:
$BK\approx 17\cdot 0,9511\approx 16,17\text{ м}$

3. Знаходження повної висоти

Додамо відстань від нижнього кінця драбини до поверхні землі:
$BC=BK+KC\approx 16,17+1=17,17\text{ м}$

(За необхідності округлення до десятих: $BC\approx 17,2\text{ м}$).

Відповідь: $\approx 17,17\text{ м}$ (або $\approx 17,2\text{ м}$).