Завдання № 20.21. § 20. Симетрія відносно прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Знайдіть відношення площі правильного шестикутника, вписаного в коло, до площі квадрата, описаного навколо цього кола.

Покроковий розв’язок:

Нехай радіус заданого кола дорівнює $R$.

1. Знаходження площі вписаного правильного шестикутника

Сторона правильного шестикутника, вписаного в коло радіуса $R$, дорівнює радіусу цього кола:
$a_6=R$

Правильний шестикутник складається з $6$ рівних рівносторонніх трикутників зі стороною $R$. Площа одного такого рівностороннього трикутника обчислюється за формулою:
$S_{△}=\frac{R^2\sqrt{3}}{4}$

Тоді площа вписаного шестикутника $S_6$ дорівнює:
$S_6=6\cdot S_{△}=6\cdot \frac{R^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}{R}^2}{2}$

2. Знаходження площі описаного квадрата

Сторона квадрата, описаного навколо кола, дорівнює діаметру цього кола:
$a_4=2R$

Площа квадрата $S_4$ дорівнює квадрату його сторони:
$S_4=a_4^2=(2R{)}^2=4R^2$

3. Обчислення відношення площ

Знайдемо відношення площі шестикутника до площі квадрата:
$\frac{S_6}{S_4}=\frac{\frac{3\sqrt{3}{R}^2}{2}}{4R^2}=\frac{3\sqrt{3}{R}^2}{2\cdot 4R^2}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$

Відповідь: $\frac{3\sqrt{3}}{8}$