Завдання № 20.19. § 20. Симетрія відносно прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Периметр ромба дорівнює $24\text{ см}$, а один з його кутів дорівнює $60^{\circ }$. Знайдіть діагоналі ромба.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження сторони ромба
Усі чотири сторони ромба мають однакову довжину. Позначимо сторону ромба через $a$. Знаючи периметр $P=24\text{ см}$, знайдемо довжину сторони:
$a=\frac{P}{4}=\frac{24}{4}=6\text{ см}$
Отже, $AB=BC=CD=AD=6\text{ см}$.

2. Знаходження меншої діагоналі
Нехай $\angle A=60^{\circ }$. Розглянемо $△ABD$:

• Сторони $AB=AD=6\text{ см}$, отже, трикутник $△ABD$ є рівнобедреним з основою $BD$.
• Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні:
  $\angle ABD=\angle ADB=\frac{180^{\circ }-\angle A}{2}=\frac{180^{\circ }-60^{\circ }}{2}=60^{\circ }$
  Оскільки всі кути трикутника дорівнюють $60^{\circ }$, трикутник $△ABD$ є рівностороннім.
  Звідси випливає, що менша діагональ ромба дорівнює його стороні:
  $BD=AB=6\text{ см}$

3. Знаходження більшої діагоналі
Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні та точкою перетину $O$ діляться навпіл:
$AC\perp BD,BO=OD=\frac{BD}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ см}$

Розглянемо прямокутний трикутник $△ABO$ ($\angle AOB=90^{\circ }$). За теоремою Піфагора:
$A{B}^2=A{O}^2+B{O}^2$
$A{O}^2=A{B}^2-B{O}^2=6^2-3^2=36-9=27$
$AO=\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}\text{ см}$

Оскільки точка $O$ ділить діагональ $AC$ навпіл:
$AC=2\cdot AO=2\cdot 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\text{ см}$

Відповідь:
$6\text{ см}$, $6\sqrt{3}\text{ см}$.