Завдання № 20.18. § 20. Симетрія відносно прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Запишіть рівняння прямої, яка симетрична прямій $4x-y+8=0$ відносно:

1) осі абсцис;

2) осі ординат.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз перетворень симетрії

З курсу геометрії 9 класу відомо, як змінюються координати точок при осьовій симетрії відносно координатних осей:

• При симетрії відносно осі абсцис (осі $Ox$) довільна точка $(x;y)$ переходить у точку $(x^{\prime };y^{\prime })$, де:
  $x^{\prime }=x,y^{\prime }=-y⟹x=x^{\prime },y=-y^{\prime }$
• При симетрії відносно осі ординат (осі $Oy$) довільна точка $(x;y)$ переходить у точку $(x^{\prime };y^{\prime })$, де:
  $x^{\prime }=-x,y^{\prime }=y⟹x=-x^{\prime },y=y^{\prime }$

Для контролю також знайдемо дві опорні точки заданої прямої $4x-y+8=0$ (точки перетину з осями координат):

• з віссю $Ox$ ($y=0$): $4x+8=0⟹x=-2$, отримуємо точку $A(-2;0)$;
• з віссю $Oy$ ($x=0$): $-y+8=0⟹y=8$, отримуємо точку $B(0;8)$.

2. Рівняння прямої, симетричної відносно осі абсцис

Підставимо формули перетворення $x=x^{\prime }$ та $y=-y^{\prime }$ у початкове рівняння прямої:
$4x^{\prime }-(-y^{\prime })+8=0$
$4x^{\prime }+y^{\prime }+8=0$

Перевіримо через симетричні точки:

• точка $A(-2;0)$ лежить на осі абсцис, тому залишається нерухомою: $A_1(-2;0)$;
• точка $B(0;8)$ симетрична відносно осі $Ox$ точці $B_1(0;-8)$.

Рівняння прямої через точки $A_1$ та $B_1$:
$\frac{x-(-2)}{0-(-2)}=\frac{y-0}{-8-0}⟹\frac{x+2}{2}=\frac{y}{-8}$

Помножимо обидві частини рівняння на $8$:
$4(x+2)=-y$
$4x+8=-y⟹4x+y+8=0$

3. Рівняння прямої, симетричної відносно осі ординат

Підставимо формули перетворення $x=-x^{\prime }$ та $y=y^{\prime }$ у початкове рівняння прямої:
$4(-x^{\prime })-y^{\prime }+8=0$
$-4x^{\prime }-y^{\prime }+8=0$

Помножимо обидві частини рівняння на $-1$:
$4x^{\prime }+y^{\prime }-8=0$

Перевіримо через симетричні точки:

• точка $B(0;8)$ лежить на осі ординат, тому залишається нерухомою: $B_2(0;8)$;
• точка $A(-2;0)$ симетрична відносно осі $Oy$ точці $A_2(2;0)$.

Рівняння прямої через точки $A_2$ та $B_2$:
$\frac{x-2}{0-2}=\frac{y-0}{8-0}⟹\frac{x-2}{-2}=\frac{y}{8}$

Помножимо обидві частини на $8$:
$-4(x-2)=y$
$-4x+8=y⟹4x+y-8=0$

Відповідь:

1) $4x+y+8=0$;

2) $4x+y-8=0$.