Завдання № 20.17. § 20. Симетрія відносно прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Запишіть рівняння прямої, яка симетрична прямій $2 x - 3 y - 6 = 0$ відносно:

1) осі абсцис;

2) осі ординат.

Покроковий розв’язок:

Нехай точка $M (x; y)$ належить даній прямій $2 x - 3 y - 6 = 0$ .

1. Симетрія відносно осі абсцис (осі $O x$ )

При осьовій симетрії відносно осі абсцис довільна точка $M (x; y)$ переходить у точку $M_{1} (x_{1}; y_{1})$ , координати якої задовольняють співвідношення:

x_{1} = x ⟹ x = x_{1} y_{1} = - y ⟹ y = - y_{1}

Підставимо ці вирази у рівняння початкової прямої:
$2 x_{1} - 3 (- y_{1}) - 6 = 0$
$2 x_{1} + 3 y_{1} - 6 = 0$

Отже, шукане рівняння прямої має вигляд:
$2 x + 3 y - 6 = 0$

(Геометрична перевірка: початкова пряма перетинає вісь $O x$ у точці $(3; 0)$ , а вісь $O y$ — у точці $(0; - 2)$ . Симетрична їй відносно осі $O x$ пряма проходить через точки $(3; 0)$ та $(0; 2)$ , що повністю відповідає рівнянню $2 x + 3 y - 6 = 0$ ).

2. Симетрія відносно осі ординат (осі $O y$ )

При осьовій симетрії відносно осі ординат точка $M (x; y)$ переходить у точку $M_{2} (x_{2}; y_{2})$ , координати якої задовольняють співвідношення:

x_{2} = - x ⟹ x = - x_{2} y_{2} = y ⟹ y = y_{2}

Підставимо ці вирази у рівняння початкової прямої:
$2 (- x_{2}) - 3 y_{2} - 6 = 0$
$- 2 x_{2} - 3 y_{2} - 6 = 0$

Помножимо обидві частини рівняння на $- 1$ :
$2 x_{2} + 3 y_{2} + 6 = 0$

Отже, шукане рівняння прямої має вигляд:
$2 x + 3 y + 6 = 0$

(Геометрична перевірка: точки перетину симетричної прямої з осями координат — $(- 3; 0)$ та $(0; - 2)$ , що відповідає рівнянню $2 x + 3 y + 6 = 0$ ).

Відповідь:

1) $2 x + 3 y - 6 = 0$ ;

2) $2 x + 3 y + 6 = 0$ .

Завдання № 20.17. § 20. Симетрія відносно прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку