Завдання № 20.16. § 20. Симетрія відносно прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Осі координат є осями симетрії квадрата. Середина однієї зі сторін квадрата — точка $M(2;-2)$. Знайдіть координати вершин квадрата.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз осей симетрії квадрата
Квадрат має чотири осі симетрії:

1) дві прямі, що містять його діагоналі;

2) дві прямі, що проходять через середини протилежних сторін (серединні перпендикуляри до сторін).

Якби осі координат були серединними перпендикулярами до сторін квадрата, то середини всіх його сторін обов’язково лежали б безпосередньо на осях координат (тобто мали б вигляд $(x;0)$ або $(0;y)$).
Проте задана точка $M(2;-2)$ не лежить на жодній з осей координат ($x\ne 0$ і $y\ne 0$).

Отже, осі координат є прямими, які містять діагоналі квадрата. Це означає, що вершини квадрата лежать на осях координат, а початок координат $O(0;0)$ є точкою перетину його діагоналей (центром симетрії).

2. Знаходження координат кінців сторони, що містить точку $M$
Оскільки точка $M(2;-2)$ лежить у четвертій координатній чверті ($x>0$, $y<0$), вона є серединою сторони, кінці якої лежать на додатній півосі $Ox$ та від’ємній півосі $Oy$.

Нехай ці вершини:

• точка $A(x_A;0)$ на осі абсцис;
• точка $B(0;y_B)$ на осі ординат.

За формулами координат середини відрізка для точки $M(2;-2)$:
$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}⟹2=\frac{x_A+0}{2}⟹x_A=4$
$y_M=\frac{y_A+y_B}{2}⟹-2=\frac{0+y_B}{2}⟹y_B=-4$

Отже, маємо дві вершини квадрата: $A(4;0)$ та $B(0;-4)$.

3. Знаходження решти вершин за допомогою симетрії
Оскільки осі координат є осями симетрії квадрата:

• Вершина $C$ симетрична точці $A(4;0)$ відносно осі ординат $Oy$, тому її координати: $C(-4;0)$.
• Вершина $D$ симетрична точці $B(0;-4)$ відносно осі абсцис $Ox$, тому її координати: $D(0;4)$.

4. Графічна ілюстрація

Відповідь: $(4;0)$, $(0;4)$, $(-4;0)$, $(0;-4)$.