Завдання № 20.15. § 20. Симетрія відносно прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Осі координат є осями симетрії ромба. Середина однієї зі сторін ромба — точка $N(-2;3)$. Знайдіть координати вершин ромба.

Покроковий розв’язок:

1. Властивості симетрії ромба відносно осей координат
Осями симетрії ромба є прямі, що містять його діагоналі. Оскільки за умовою осі координат $Ox$ та $Oy$ є осями симетрії даного ромба, діагоналі ромба лежать на осях координат, а точка їх перетину (центр симетрії ромба) збігається з початком координат $O(0;0)$.

Звідси випливає, що всі чотири вершини ромба лежать на координатних осях: дві вершини — на осі абсцис, а дві — на осі ординат.

2. Знаходження вершин, що утворюють сторону із серединою $N$
За умовою точка $N(-2;3)$ є серединою однієї зі сторін ромба. Оскільки абсциса точки $N$ від’ємна ($x<0$), а ордината — додатна ($y>0$), ця точка розташована в другій координатній чверті.

Відповідно, ця сторона сполучає вершину $A(x;0)$, яка лежить на від’ємній півосі $Ox$, та вершину $B(0;y)$, яка лежить на додатній півосі $Oy$.

За формулами координат середини відрізка:
$x_N=\frac{x_A+x_B}{2},y_N=\frac{y_A+y_B}{2}$

Підставимо відомі значення координат:
$\frac{x+0}{2}=-2⟹x=-4$
$\frac{0+y}{2}=3⟹y=6$

Отже, координати двох вершин ромба:
$A(-4;0),B(0;6)$

3. Знаходження інших двох вершин за симетрією
Оскільки координатні осі є осями симетрії фігури:

1) Вершина $C$ симетрична вершині $A(-4;0)$ відносно осі ординат, отже, її координати: $C(4;0)$.

2) Вершина $D$ симетрична вершині $B(0;6)$ відносно осі абсцис, отже, її координати: $D(0;-6)$.

Відповідь:
$(-4;0)$, $(0;6)$, $(4;0)$, $(0;-6)$.