Завдання № 20.14. § 20. Симетрія відносно прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
На малюнку $A B = B C$ , $A D = D C$ . Доведіть, що точки $A$ і $C$ симетричні відносно прямої $B D$ .

Креслення до завдання 20.14

Покроковий розв’язок:

Для того щоб довести, що точки $A$ і $C$ симетричні відносно прямої $B D$ , за означенням осьової симетрії необхідно показати, що пряма $B D$ є серединним перпендикуляром до відрізка $A C$ , тобто пряма $B D$ перпендикулярна до $A C$ і проходить через його середину.

1. Рівність трикутників $△ A B D$ і $△ C B D$

Розглянемо трикутники $△ A B D$ і $△ C B D$ :

$A B = B C$ (за умовою);
$A D = D C$ (за умовою);
сторона $B D$ — спільна.

Отже, $△ A B D = △ C B D$ за третьою ознакою рівності трикутників (за трьома сторонами).

З рівності трикутників випливає рівність відповідних кутів:
$∠ A B D = ∠ C B D$ .

2. Доведення перпендикулярності та поділу навпіл

Проведемо відрізок $A C$ . Нехай пряма $B D$ перетинає відрізок $A C$ у точці $K$ .

Розглянемо трикутник $△ A B C$ :

Оскільки $A B = B C$ , то $△ A B C$ — рівнобедрений з основою $A C$ .
Промінь $B K$ ділить кут $∠ B$ на два рівні кути ( $∠ A B K = ∠ C B K$ ), отже, відрізок $B K$ є бісектрисою кута $∠ A B C$ .

За властивістю рівнобедреного трикутника, бісектриса, проведена до основи, є також його висотою та медіаною:

Оскільки $B K$ — медіана, то точка $K$ є серединою відрізка $A C$ , тобто $A K = K C$ .
Оскільки $B K$ — висота, то $B K ⊥ A C$ , а отже, і вся пряма $B D ⊥ A C$ .

3. Висновок про симетрію

Пряма $B D$ перпендикулярна до відрізка $A C$ і проходить через його середину $K$ . Відповідно, пряма $B D$ є серединним перпендикуляром до відрізка $A C$ .

За означенням осьової симетрії точки $A$ і $C$ є симетричними відносно прямої $B D$ , що й треба було довести.

Відповідь:
Доведено.

Завдання № 20.14. § 20. Симетрія відносно прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку