Завдання № 20.13. § 20. Симетрія відносно прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

На малюнку 20.13 $AD=AB$, $CD=CB$. Доведіть, що точки $B$ і $D$ симетричні відносно прямої $AC$.

Покроковий розв’язок:

За означенням, дві точки $B$ і $D$ є симетричними відносно прямої $AC$, якщо пряма $AC$ є серединним перпендикуляром до відрізка $BD$, тобто:

1) пряма $AC$ перпендикулярна до відрізка $BD$ ($AC\perp BD$);

2) пряма $AC$ проходить через середину відрізка $BD$.

Доведемо виконання цих умов.

1. Рівність трикутників $△ADC$ і $△ABC$

Розглянемо трикутники $△ADC$ і $△ABC$:

• $AD=AB$ (за умовою);
• $CD=CB$ (за умовою);
• сторона $AC$ — спільна.

Отже, $△ADC=△ABC$ за трьома сторонами (третя ознака рівності трикутників).

З рівності трикутників випливає рівність відповідних кутів:
$\angle DCA=\angle BCA$

2. Властивість бісектриси рівнобедреного трикутника $△BCD$

Проведемо відрізок $BD$. Нехай він перетинає пряму $AC$ у точці $K$.

Оскільки $CD=CB$, то трикутник $△BCD$ є рівнобедреним з основою $BD$.

Оскільки $\angle DCK=\angle BCK$, відрізок $CK$ є бісектрисою трикутника $△BCD$, проведеною до його основи $BD$.

За властивістю рівнобедреного трикутника, бісектриса, проведена до основи, є також його медіаною та висотою.

Звідси випливає, що:

1) $CK\perp BD$, тобто пряма $AC\perp BD$;

2) Точка $K$ є серединою відрізка $BD$, тобто $DK=KB$.

3. Висновок

Пряма $AC$ перпендикулярна до відрізка $BD$ і проходить через його середину (є серединним перпендикуляром до відрізка $BD$).

Отже, за означенням осьової симетрії, точки $B$ і $D$ симетричні відносно прямої $AC$. Твердження доведено.

Відповідь: доведено.