Завдання № 20.10. § 20. Симетрія відносно прямої (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Скільки осей симетрії має:

1) відрізок;

2) промінь;

3) пряма;

4) коло;

5) прямокутник, що не є квадратом;

6) квадрат?

Покроковий розв’язок:

Пряма називається віссю симетрії фігури, якщо внаслідок симетрії відносно цієї прямої фігура відображається сама на себе. Проаналізуємо кожну із зазначених фігур:

1. Відрізок
Відрізок має $2$ осі симетрії:

• серединний перпендикуляр до цього відрізка (при симетрії відносно нього кінці відрізка міняються місцями, а кожна точка однієї половини відображається у відповідну точку другої половини);
• пряма, яка містить сам відрізок (при симетрії відносно цієї прямої кожна точка відрізка залишається на місці).
  Отже, відрізок має $2$ осі симетрії.

2. Промінь
Єдиною прямою, відносно якої точки променя можуть відобразитися в точки цього ж променя, є пряма, що містить цей промінь. При симетрії відносно цієї прямої кожна точка променя є нерухомою, тобто відображається сама в себе. Будь-яка інша пряма не є віссю симетрії, оскільки початкова точка (вершина) променя не матиме симетричної точки на промені.
Отже, промінь має $1$ вісь симетрії.

3. Пряма
Для будь-якої прямої осями симетрії є:

• сама ця пряма (кожна точка прямої залишається нерухомою);
• будь-яка пряма, перпендикулярна до даної прямої (при симетрії відносно неї промені, на які розбивається пряма точкою перетину, відображаються один на одного).
  Оскільки перпендикулярних прямих можна провести безліч, пряма має безліч осей симетрії.

4. Коло
Коло відображається саме на себе при осьовій симетрії відносно будь-якої прямої, яка проходить через його центр (тобто прямої, що містить діаметр кола).
Оскільки через центр кола можна провести нескінченну кількість прямих, коло має безліч осей симетрії.

5. Прямокутник, що не є квадратом
Осями симетрії прямокутника є серединні перпендикуляри до його протилежних сторін. Прямі, що містять діагоналі прямокутника (який не є квадратом), не є його осями симетрії, оскільки діагоналі не є перпендикулярними.
Отже, такий прямокутник має $2$ осі симетрії.

6. Квадрат
Квадрат є правильним чотирикутником і має $4$ осі симетрії:

• $2$ серединні перпендикуляри до протилежних сторін;
• $2$ прямі, що містять його діагоналі (оскільки діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні та ділять його кути навпіл).

Відповідь:

1) $2$;

2) $1$;

3) безліч;

4) безліч;

5) $2$;

6) $4$.