Завдання № 2. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Кінці відрізка $A B$ мають координати $A (x_{1}; y_{1})$ і $B (x_{2}; y_{2})$ . Точка $M (x; y)$ належить відрізку $A B$ і ділить його у відношенні $\frac{A M}{M B} = λ$ . Доведіть, що координати точки $M$ можна знайти за формулами:
$x = \frac{x _{1} + λ x _{2}}{1 + λ}, y = \frac{y _{1} + λ y _{2}}{1 + λ}$

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична інтерпретація та проєкції
Спроектуємо точки $A (x_{1}; y_{1})$ , $M (x; y)$ та $B (x_{2}; y_{2})$ на осі координат:

На вісь абсцис ( $O x$ ): точки $A_{1} (x_{1}; 0)$ , $M_{1} (x; 0)$ та $B_{1} (x_{2}; 0)$ .
На вісь ординат ( $O y$ ): точки $A_{2} (0; y_{1})$ , $M_{2} (0; y)$ та $B_{2} (0; y_{2})$ .

Оскільки прямі $A A_{1}$ , $M M_{1}$ та $B B_{1}$ перпендикулярні до осі $O x$ , вони паралельні між собою:
$A A_{1} ∥ M M_{1} ∥ B B_{1}$

2. Знаходження абсциси точки $M$
За узагальненою теоремою Фалеса (властивістю паралельних прямих, що перетинають сторони кута), паралельні прямі відтинають на осі абсцис пропорційні відрізки:
$\frac{A _{1} M _{1}}{M _{1} B _{1}} = \frac{A M}{M B} = λ$

Виразимо довжини відрізків $A_{1} M_{1}$ та $M_{1} B_{1}$ через їхні координати (враховуючи, що точка $M_{1}$ лежить між $A_{1}$ та $B_{1}$ ):
$A_{1} M_{1} = x - x_{1}, M_{1} B_{1} = x_{2} - x$

Підставимо ці вирази у відношення:
$\frac{x - x _{1}}{x _{2} - x} = λ$

Розв’яжемо отримане рівняння відносно $x$ :
$x - x_{1} = λ \cdot (x_{2} - x)$
$x - x_{1} = λ \cdot x_{2} - λ \cdot x$
$x + λ \cdot x = x_{1} + λ \cdot x_{2}$
$x \cdot (1 + λ) = x_{1} + λ \cdot x_{2}$
$x = \frac{x _{1} + λ \cdot x _{2}}{1 + λ}$

3. Знаходження ординати точки $M$
Аналогічно розглянемо проекції на вісь ординат $O y$ . Прямі $A A_{2}$ , $M M_{2}$ та $B B_{2}$ паралельні між собою:
$A A_{2} ∥ M M_{2} ∥ B B_{2}$

За теоремою Фалеса:
$\frac{A _{2} M _{2}}{M _{2} B _{2}} = \frac{A M}{M B} = λ$

Виразимо довжини відрізків:
$A_{2} M_{2} = y - y_{1}, M_{2} B_{2} = y_{2} - y$

Підставимо у відношення:
$\frac{y - y _{1}}{y _{2} - y} = λ$

Розв’яжемо рівняння відносно $y$ :
$y - y_{1} = λ \cdot (y_{2} - y)$
$y - y_{1} = λ \cdot y_{2} - λ \cdot y$
$y + λ \cdot y = y_{1} + λ \cdot y_{2}$
$y \cdot (1 + λ) = y_{1} + λ \cdot y_{2}$
$y = \frac{y _{1} + λ \cdot y _{2}}{1 + λ}$

Формули повністю доведено.

Відповідь:
Формули доведено: $x = \frac{x _{1} + λ \cdot x _{2}}{1 + λ}$ , $y = \frac{y _{1} + λ \cdot y _{2}}{1 + λ}$ .

Завдання № 2. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку