Завдання № 2. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи можна навколо чотирикутника $ABCD$ описати коло, якщо:

1) $\angle A=20^{\circ }$, $\angle C=140^{\circ }$;

2) $\angle B=80^{\circ }$, $\angle D=100^{\circ }$?

Покроковий розв’язок:
За теоремою про вписаний чотирикутник, навколо опуклого чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює $180^{\circ }$. У чотирикутнику $ABCD$ протилежними є пари кутів $\angle A$ і $\angle C$, а також $\angle B$ і $\angle D$.

1. Перевірка для першого випадку:
Знайдемо суму протилежних кутів $\angle A$ та $\angle C$:
$\angle A+\angle C=20^{\circ }+140^{\circ }=160^{\circ }$
Оскільки $160^{\circ }\ne 180^{\circ }$, умова описуваності кола не виконується. Отже, навколо даного чотирикутника описати коло не можна.

2. Перевірка для другого випадку:
Знайдемо суму протилежних кутів $\angle B$ та $\angle D$:
$\angle B+\angle D=80^{\circ }+100^{\circ }=180^{\circ }$
Оскільки сума кутів будь-якого опуклого чотирикутника становить $360^{\circ }$, то для іншої пари протилежних кутів автоматично маємо:
$\angle A+\angle C=360^{\circ }-(\angle B+\angle D)=360^{\circ }-180^{\circ }=180^{\circ }$
Сума кожної пари протилежних кутів дорівнює $180^{\circ }$, отже, навколо чотирикутника описати коло можна.

Відповідь:

1) Ні, не можна;

2) Так, можна.