Завдання № 2.9. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
Кут $β$ — гострий. Знайдіть:

1) $cos β$ , якщо $sin β = \frac{4}{5}$ ;

2) $sin β$ , якщо $cos β = \frac{5}{13}$ .

Покроковий розв’язок:

Для розв’язання задачі скористаємося основною тригонометричною тотожністю:

sin^{2} β + cos^{2} β = 1

Оскільки за умовою кут $β$ є гострим ( $0^{\circ} < β < 9 0^{\circ}$ ), значення його синуса та косинуса є додатними: $sin β > 0$ і $cos β > 0$ .

1. Знаходження $cos β$ , якщо $sin β = \frac{4}{5}$

Виразимо $cos β$ з основної тригонометричної тотожності, враховуючи, що для гострого кута косинус набуває додатного значення:

cos β = 1 - sin^{2} β

Підставимо числове значення:

cos β = 1 - (\frac{4}{5})^{2} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25} = \frac{3}{5}

2. Знаходження $sin β$ , якщо $cos β = \frac{5}{13}$

Виразимо $sin β$ з основної тригонометричної тотожності, враховуючи, що для гострого кута синус є додатним:

sin β = 1 - cos^{2} β

Підставимо числове значення:

sin β = 1 - (\frac{5}{13})^{2} = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} = \frac{12}{13}

Відповідь:

1) $\frac{3}{5}$ ;

2) $\frac{12}{13}$ .