Завдання № 2.8. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи існує кут $\beta$, де $0^{\circ }\le \beta \le 180^{\circ }$, для якого:

1) $\cos \beta =-\frac{4}{9}$;

2) $\sin \beta =-\frac{4}{9}$;

3) $\cos \beta =\frac{4}{9}$;

4) $\sin \beta =\frac{4}{9}$;

5) $\cos \beta =-1,3$;

6) $\sin \beta =-1,3$?

Покроковий розв’язок:

За означенням синуса і косинуса кута $\beta$, де $0^{\circ }\le \beta \le 180^{\circ }$ (розглядається одиничне півколо, розташоване у верхній півплощині):

• Косинус кута $\beta$ є абсцисою ($x$) точки одиничного півкола, тому значення косинуса може набувати будь-яких дійсних значень у проміжку від $-1$ до $1$:
  $-1\le \cos \beta \le 1$
• Синус кута $\beta$ є ординатою ($y$) точки одиничного півкола, тому значення синуса кута від $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$ завжди невід’ємне і знаходиться в межах від $0$ до $1$:
  $0\le \sin \beta \le 1$

Перевіримо кожне з наданих значень:

1) Значення $\cos \beta =-\frac{4}{9}$
Оскільки $-1\le -\frac{4}{9}\le 1$, число належить області допустимих значень косинуса. Такий кут $\beta$ існує (кут є тупим, тобто лежить у II координатній чверті).

2) Значення $\sin \beta =-\frac{4}{9}$
Для будь-якого кута $0^{\circ }\le \beta \le 180^{\circ }$ синус є невід’ємним ($\sin \beta \ge 0$). Оскільки $-\frac{4}{9}<0$, такого кута не існує.

3) Значення $\cos \beta =\frac{4}{9}$
Оскільки $-1\le \frac{4}{9}\le 1$, число входить у проміжок допустимих значень косинуса. Такий кут $\beta$ існує (кут є гострим, тобто лежить у I координатній чверті).

4) Значення $\sin \beta =\frac{4}{9}$
Оскільки $0\le \frac{4}{9}\le 1$, число входить у межі допустимих значень синуса для кутів від $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$. Такий кут $\beta$ існує (існують два таких кути: один у I чверті, інший у II чверті).

5) Значення $\cos \beta =-1,3$
Оскільки $-1,3<-1$, значення косинуса виходить за межі проміжку $[-1;1]$. Такого кута не існує.

6) Значення $\sin \beta =-1,3$
Оскільки синус для вказаних меж кута набуває значень лише від $0$ до $1$, а число $-1,3<0$, такого кута не існує.

Відповідь:

1) Існує;

2) не існує;

3) існує;

4) існує;

5) не існує;

6) не існує.