Завдання № 2.7. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Чи існує кут $\alpha$, де $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$, для якого:

1) $\cos \alpha =\frac{2}{5}$

2) $\sin \alpha =-\frac{2}{5}$

3) $\cos \alpha =-\frac{2}{5}$

4) $\sin \alpha =\frac{2}{5}$

5) $\cos \alpha =1,2$

6) $\sin \alpha =1,2$

Покроковий розв’язок:
З означення синуса і косинуса на одиничному півколі для кутів $\alpha$, таких що $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$, відомо:

• Ордината точок одиничного півкола змінюється від $0$ до $1$, тобто $0\le \sin \alpha \le 1$.
• Абсциса точок одиничного півкола змінюється від $-1$ до $1$, тобто $-1\le \cos \alpha \le 1$.

Розглянемо кожний пункт окремо:

1) $\cos \alpha =\frac{2}{5}$
Значення $\frac{2}{5}=0,4$ задовольняє нерівність $-1\le \cos \alpha \le 1$. Оскільки $\cos \alpha >0$, то шуканий кут лежить у I чверті (є гострим).
Отже, такий кут $\alpha$ існує.

2) $\sin \alpha =-\frac{2}{5}$
Для кутів $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$ значення синуса не може бути від’ємним, тобто $0\le \sin \alpha \le 1$. Оскільки $-\frac{2}{5}<0$, рівність виконуватися не може.
Отже, такого кута $\alpha$ не існує.

3) $\cos \alpha =-\frac{2}{5}$
Значення $-\frac{2}{5}=-0,4$ потрапляє в допустимий числовий проміжок $[-1;1]$. Оскільки $\cos \alpha <0$, цей кут лежить у II чверті (є тупим).
Отже, такий кут $\alpha$ існує.

4) $\sin \alpha =\frac{2}{5}$
Значення $\frac{2}{5}=0,4$ задовольняє умову $0\le \sin \alpha \le 1$. На проміжку $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$ існують два такі кути: один гострий (у I чверті) та один тупий (у II чверті).
Отже, такий кут $\alpha$ існує.

5) $\cos \alpha =1,2$
Косинус будь-якого кута за модулем не перевищує $1$, тобто $-1\le \cos \alpha \le 1$. Оскільки $1,2>1$, це значення виходить за межі допустимих значень косинуса.
Отже, такого кута $\alpha$ не існує.

6) $\sin \alpha =1,2$
Синус кута в межах від $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$ не може бути більшим за $1$, тобто $0\le \sin \alpha \le 1$. Оскільки $1,2>1$, рівність неможлива.
Отже, такого кута $\alpha$ не існує.

Відповідь:

1) існує;

2) не існує;

3) існує;

4) існує;

5) не існує;

6) не існує.