Завдання № 2.6. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Обчисліть:

1) $\mathrm{tg}135^{\circ }-\cos 120^{\circ }$;

2) $\sin 135^{\circ }:\cos 135^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

Для обчислення значень тригонометричних функцій тупих кутів скористаємося формулами зведення для кутів від $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$:

• $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$;
• $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$;
• $\mathrm{tg}(180^{\circ }-\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha$.

1) Обчислюємо вираз $\mathrm{tg}135^{\circ }-\cos 120^{\circ }$:

Знайдемо значення кожного доданка окремо:

• $\mathrm{tg}135^{\circ }=\mathrm{tg}(180^{\circ }-45^{\circ })=-\mathrm{tg}45^{\circ }=-1$;
• $\cos 120^{\circ }=\cos (180^{\circ }-60^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$.

Підставимо отримані значення у початковий вираз:

2) Обчислюємо вираз $\sin 135^{\circ }:\cos 135^{\circ }$:

Спосіб 1 (через означення тангенса):
Оскільки за означенням $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$, то:

Спосіб 2 (через підстановку числових значень):

• $\sin 135^{\circ }=\sin (180^{\circ }-45^{\circ })=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$;
• $\cos 135^{\circ }=\cos (180^{\circ }-45^{\circ })=-\cos 45^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тоді:

Відповідь:

1) $-\frac{1}{2}$;

2) $-1$.