Завдання № 2.40. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Бічні сторони трапеції дорівнюють $6\text{ см}$ і $8\text{ см}$, а відстань між серединами її діагоналей дорівнює $5\text{ см}$. Знайдіть відстань між серединами основ трапеції.

Покроковий розв’язок:

Нехай задано трапецію $ABCD$ з основами $BC$ і $AD$, у якій бічні сторони дорівнюють $AB=6\text{ см}$ і $CD=8\text{ см}$.

Позначимо середини відповідних відрізків:

• $K$ — середина діагоналі $AC$;
• $M$ — середина діагоналі $BD$;
• $E$ — середина меншої основи $BC$;
• $F$ — середина більшої основи $AD$.

За умовою задачі відстань між серединами діагоналей $KM=5\text{ см}$. Потрібно знайти довжину відрізка $EF$.

1. Дослідження властивостей чотирикутника $EKMF$

Розглянемо трикутники, для яких відрізки, що сполучають указані точки, є середніми лініями:

• У $△ABC$ відрізок $EK$ сполучає середини сторін $BC$ і $AC$, отже, $EK$ — середня лінія $△ABC$. За властивістю середньої лінії трикутника:
  $EK\parallel AB\text{і}EK=\frac{1}{2}\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 6=3\text{ см}.$

• У $△ABD$ відрізок $MF$ сполучає середини сторін $BD$ і $AD$, отже, $MF$ — середня лінія $△ABD$. Відповідно:
  $MF\parallel AB\text{і}MF=\frac{1}{2}\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 6=3\text{ см}.$

Оскільки $EK\parallel AB$ та $MF\parallel AB$, то за ознакою паралельності прямих $EK\parallel MF$. Крім того, $EK=MF=3\text{ см}$.

Чотирикутник, у якого дві протилежні сторони рівні й паралельні, є паралелограмом. Отже, $EKMF$ — паралелограм.

2. Обчислення довжин інших сторін паралелограма

Розглянемо дві інші сторони паралелограма $EKMF$:

• У $△BCD$ відрізок $EM$ є середньою лінією (сполучає середини $BC$ і $BD$):
  $EM\parallel CD\text{і}EM=\frac{1}{2}\cdot CD=\frac{1}{2}\cdot 8=4\text{ см}.$

• У $△ACD$ відрізок $KF$ є середньою лінією (сполучає середини $AC$ і $AD$):
  $KF\parallel CD\text{і}KF=\frac{1}{2}\cdot CD=\frac{1}{2}\cdot 8=4\text{ см}.$

Отже, сторони паралелограма $EKMF$ дорівнюють:
$EK=MF=3\text{ см},EM=KF=4\text{ см}.$

3. Знаходження відстані $EF$

Відрізки $KM$ та $EF$ є діагоналями паралелограма $EKMF$.

Скористаємося теоремою про суму квадратів діагоналей паралелограма (сума квадратів діагоналей дорівнює подвоєній сумі квадратів двох його суміжних сторін):
$K{M}^2+E{F}^2=2\cdot (E{K}^2+E{M}^2).$

Підставимо відомі числові значення:
$5^2+E{F}^2=2\cdot (3^2+4^2),$
$25+E{F}^2=2\cdot (9+16),$
$25+E{F}^2=2\cdot 25,$
$25+E{F}^2=50,$
$E{F}^2=50-25=25,$
$EF=\sqrt{25}=5\text{ см}.$

(Зауваження: оскільки в трикутнику $EKM$ сторони дорівнюють $3\text{ см}$, $4\text{ см}$ і $5\text{ см}$, за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, $3^2+4^2=5^2$, кут $\angle KEM=90^{\circ }$. Це означає, що паралелограм $EKMF$ є прямокутником, а діагоналі прямокутника рівні між собою: $EF=KM=5\text{ см}$).

Відповідь: $5\text{ см}$.