Завдання № 2.37. § 2. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°. Тригонометричні тотожності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

1) Побудуйте точки $A(1;4)$, $B(5;1)$, $C(1;1)$ на координатній площині, одиничний відрізок якої дорівнює $1\text{ см}$.

2) Знайдіть довжини відрізків $AB$, $AC$, $BC$ за допомогою лінійки.

3) Як за допомогою обчислень знайти довжину відрізка $AB$, якщо довжини відрізків $AC$ і $BC$ відомі?

Покроковий розв’язок:

1. Побудова точок на координатній площині
Накреслимо декартову систему координат з одиничним відрізком, що дорівнює $1\text{ см}$ (дві клітинки зошита).

• Позначимо точку $A(1;4)$ з абсцисою $x=1$ та ординатою $y=4$.
• Позначимо точку $B(5;1)$ з абсцисою $x=5$ та ординатою $y=1$.
• Позначимо точку $C(1;1)$ з абсцисою $x=1$ та ординатою $y=1$.

З’єднаємо точки відрізками й отримаємо трикутник $ABC$.

2. Вимірювання довжин відрізків за допомогою лінійки

• Відрізок $AC$ розташований паралельно осі ординат, його кінці мають однакову абсцису $x=1$. При вимірюванні лінійкою:
  $AC=4-1=3\text{ см}$
• Відрізок $BC$ розташований паралельно осі абсцис, його кінці мають однакову ординату $y=1$. При вимірюванні лінійкою:
  $BC=5-1=4\text{ см}$
• Вимірявши лінійкою відрізок $AB$, отримуємо:
  $AB=5\text{ см}$

3. Знаходження довжини відрізка $AB$ за допомогою обчислень
Оскільки відрізок $AC$ паралельний осі $y$, а відрізок $BC$ паралельний осі $x$, то прямі $AC$ і $BC$ взаємно перпендикулярні ($AC\perp BC$).
Отже, трикутник $ABC$ є прямокутним із прямим кутом при вершині $C$ ($\angle C=90^{\circ }$).

Відрізки $AC$ і $BC$ є катетами, а відрізок $AB$ — гіпотенузою трикутника $ABC$.
За теоремою Піфагора:
$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$

Звідси довжину відрізка $AB$ виражаємо формулою:
$AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}$

Підставивши знайдені значення довжин катетів:
$AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\text{ см}$

Відповідь:

1) Точки $A(1;4)$, $B(5;1)$, $C(1;1)$ побудовано на координатній площині, утворено прямокутний трикутник $ABC$.

2) $AC=3\text{ см}$, $BC=4\text{ см}$, $AB=5\text{ см}$.

3) $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}$ (за теоремою Піфагора).